Módulos termoelétricos têm sido utilizados para gerar potência elétrica através do aproveitamento do calor gerado em fogões a lenha. Considere a instalação de um módulo termoelétrico do Exemplo 3.13 em uma superfície vertical de um fogão a lenha que tem uma temperatura superficial de T_s=375^{\circ} \mathrm{C}. Uma resistência térmica de contato de R_{t, c}^{\prime \prime}=5 \cdot 10^{-6} \mathrm{~m}^2 \cdot K / W está presente na interface entre o fogão e o módulo termoelétrico, enquanto o ar da sala e suas paredes encontram-se a T_{\infty}=T_{v i z}=25^{\circ} \mathrm{C}. A superfície exposta do módulo termoelétrico tem uma emissividade \varepsilon=0,90 e está submetida a um coeficiente convectivo h=15 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^2 . K\right). Esboce o circuito térmico equivalente e determine a potência elétrica gerada pelo módulo. A resistência elétrica da carga é de R_{e, \text { carga }}=3 \Omega.
Passo 1
Fala aí! Vamos resolver essa questão? Partiu!
Ela pede pra gente esboçar o circuito e depois determinar a potência elétrica gerada, show?
Vamos nessa!
O nosso circuito vai ficar com essa cara aqui olha:
Agora vamos lembrar que pra calcular nossa potência podemos usar a fórmula:
P=I^2, R_{e, \text { carga }}
Passo 2
Vamos então encontrar esse I, beleza? Pra isso precisamos do:
R_{t, \text { cond }}=\dfrac{L}{N \cdot A \cdot k}
R_{t, \text { cond }}=\dfrac{2,5 \cdot 10^{-3}}{100 \cdot 1,2 \cdot 10^{-5} \cdot 1,2}
R_{t, \text { cond }}=1,736 \mathrm{~K} / \mathrm{W}
Agora precisaremos usar as equações 3.125 e 3.126 do livro… Tudo em prol da corrente, vamos lá:
q_1=\dfrac{1}{R_{t, \text { cond }}} \cdot\left(T_1-T_2\right)+I \cdot S_{p-n, \text { eff }} \cdot T_1-I^2 \cdot R_{e, \text { eff }}
q_1=\dfrac{\left(T_1-T_2\right)}{1,736}+I \cdot 0,1435 \cdot T_1-I^2 \cdot 4
q_2=\frac{1}{R_{t, \text { ennul }}} \cdot\left(T_1-T_2\right)+I \cdot S_{p-n, \text { eff }} \cdot T_2-I^2 \cdot R_{e, \text { eff }}
q_2=\dfrac{\left(T_1-T_2\right)}{1,736}+I \cdot 0,1435 \cdot T_2-I^2 \cdot 4
Vamos tentar encontrar o q_1:
q_1=\dfrac{T_{\infty, 1}-T_1}{R_{\infty}}
Opa! Precisamos desse R_{t,c} vamos achar ele assim:
R_{t, c}=\dfrac{R_{t, c}^n}{W^2}
R_{t, c}=\dfrac{5 \cdot 10^{-6}}{0,054^2}
R_{t, c}=1,71 \cdot 10^{-3} \mathrm{~K} / \mathrm{W}
Agora podemos voltar na equação ali de cima:
q_1=\dfrac{648-T_1}{1,71 \cdot 10^{-3}}
q_1=5,54 \cdot 10^5-584,8 \cdot T_1
Agora vamos encontrar o nosso q_2:
q_2=\dfrac{T_2-T_{\infty}}{R_{r a d,}, \text { conv }}
q_2=\left(T_2-T_{\infty}\right) \cdot\left(h+h_r\right) \cdot W^2
q_2=\left(T_2-293\right) \cdot\left(15+h_r\right) \cdot 0,054^2
O h_r também é uma função de T_2, então vamos substituí-lo:
q_2=\left(T_2-293\right) \cdot\left(15+\left[\varepsilon \cdot \sigma \cdot\left(T_2-T_s\right) \cdot\left(T_2{ }^2-T_s{ }^2\right)\right]\right) \cdot 0,054^2
q_2=\left(T_2-293\right) \cdot\left(15+\left[0,95 \cdot 5,67 \cdot 10^{-8} \cdot\left(T_2-293\right) \cdot\left(T_2{ }^2-293^2\right)\right]\right) \cdot 0,054^2
q_2=\left(T_2-293\right) \cdot\left(15+\left[5,3 \cdot 10^{-8} \cdot\left(T_2-293\right) \cdot\left(T_2{ }^2-85849\right)\right]\right) \cdot 0,00292
Se a nossa energia produzida é igual a nossa energia dissipada, vamos ter que:
I^2 \cdot R_{e, \text { carga }}=I \cdot S_{p-n, \text { eff }} \cdot\left(T_1-T_2\right)-2 \cdot I^2 \cdot R_{e, \text { eff }}
I^2 \cdot 3=I \cdot 0,1435 \cdot\left(T_1-T_2\right)-2 \cdot I^2 \cdot 3
Passo 3
Agora podemos montar o que achamos em um sistema de três equações e três incógnitas, olha só:
5,54 \cdot 10^5-584,8 \cdot T_1=\frac{\left(T_1-T_2\right)}{1,736}+I \cdot 0,1435 \cdot T_1-I^2 \cdot 4
\left(T_2-293\right) \cdot\left(15+\left[5,3 \cdot 10^{-8} \cdot\left(T_2-293\right)\cdot\left({T_2}^2-85849\right)\right]\right) \cdot 0,00292=\frac{\left(T_1-T_2\right)}{1,736}+I \cdot 0,1435 \cdot T_2-I^2 \cdot 4
I^2 \cdot 3=I \cdot 0,1435 \cdot\left(T_1-T_2\right)-2 \cdot I^2 \cdot 3
Sistema a gente já está acostumado a resolver, né? Apesar deste ser mais complexo, a gente consegue tranquilo… E resolvendo esse carinha aí vamos ter que:
I=0,27 A
Agora é só retornar lá na nossa equação da potência:
P=I^2 \cdot R_{e, \text { carga }}
P=0,27^2 \cdot 3
P=0,22 \mathrm{~W}
Conseguimos!
Resposta
P=0,22 W
