Charles K. Alexander e Matthew Sadiku - Fundamentos De Circuitos Elétricos - 5a Edição

Problema 1.13
A carga que entra pelo terminal positivo de um elemento é
q = 5 \sin(4\pi t) \ \text{mC}
enquanto a tensão nesse elemento (do positivo para o negativo) é
v = 3 \cos(4\pi t) \ \text{V}
(a) Determine a potência liberada para o elemento em t = 0,3 \ \text{s}.
(b) Calcule a energia liberada para o elemento entre 0 e 0,6 s.

Conceitos Fundamentais:

• Corrente: i(t) = \frac{dq}{dt}
• Potência instantânea: p(t) = v(t) \cdot i(t)
• Energia: E = \int p(t) dt

(a) Potência em t = 0,3 \ \text{s}

Passo 1: Calcular a corrente
i(t) = \frac{d}{dt}[5\sin(4\pi t)] = 5 \cdot 4\pi \cos(4\pi t) = 20\pi \cos(4\pi t) \ \text{mA}

Passo 2: Expressar a potência instantânea
p(t) = v(t) \cdot i(t) = [3\cos(4\pi t)] \cdot [20\pi \cos(4\pi t) \times 10^{-3}]
p(t) = 60\pi \cos^2(4\pi t) \times 10^{-3} \ \text{W}
p(t) = 60\pi \cos^2(4\pi t) \ \text{mW}

Passo 3: Calcular em t = 0,3 \ \text{s}
p(0,3) = 60\pi \cos^2(4\pi \cdot 0,3) \ \text{mW}
p(0,3) = 60\pi \cos^2(1,2\pi) \ \text{mW}
\cos(1,2\pi) = \cos(216^\circ) = -0,809
p(0,3) = 60\pi (0,6545) \ \text{mW} = 123,37 \ \text{mW} = 0,123 \ \text{W}

Resposta (a): p(0,3) = 0,123 \ \text{W}

(b) Energia entre 0 e 0,6 s

Passo 4: Integrar a potência
E = \int_0^{0,6} p(t) dt = \int_0^{0,6} 60\pi \cos^2(4\pi t) \times 10^{-3} dt
E = 60\pi \times 10^{-3} \int_0^{0,6} \cos^2(4\pi t) dt

Passo 5: Usar identidade trigonométrica
\cos^2(4\pi t) = \frac{1 + \cos(8\pi t)}{2}
E = 60\pi \times 10^{-3} \int_0^{0,6} \frac{1 + \cos(8\pi t)}{2} dt
E = 30\pi \times 10^{-3} \int_0^{0,6} [1 + \cos(8\pi t)] dt

Passo 6: Resolver a integral
E = 30\pi \times 10^{-3} \left[t + \frac{\sin(8\pi t)}{8\pi}\right]_0^{0,6}
E = 30\pi \times 10^{-3} \left[0,6 + \frac{\sin(4,8\pi)}{8\pi} - 0 - 0\right]
\sin(4,8\pi) = \sin(864^\circ) = \sin(144^\circ) = 0,5878
E = 30\pi \times 10^{-3} \left[0,6 + \frac{0,5878}{8\pi}\right]
E = 30\pi \times 10^{-3} [0,6 + 0,0234] = 30\pi \times 10^{-3} \times 0,6234
E = 58,75 \times 10^{-3} \ \text{J} = 58,75 \ \text{mJ}

Resposta (b): E = 58,75 \ \text{mJ}

Respostas Finais:
(a) 0,123 \ \text{W}
(b) 58,75 \ \text{mJ}