Charles K. Alexander e Matthew Sadiku - Fundamentos De Circuitos Elétricos - 5a Edição

Problema 1.3
Determine a carga q(t) que flui por um dispositivo se a corrente for:

(a) i(t) = 3 \ \text{A}, \quad q(0) = 1 \ \text{C}
(b) i(t) = (2t + 5) \ \text{mA}, \quad q(0) = 0
(c) i(t) = 20 \cos\left(10t + \frac{\pi}{6}\right) \ \mu\text{A}, \quad q(0) = 2 \ \mu\text{C}
(d) i(t) = 10e^{-30t} \sin 40t \ \text{A}, \quad q(0) = 0

Conceito Fundamental:

A carga elétrica q(t) é obtida integrando a corrente i(t) no tempo:

q(t) = \int i(t) \ dt + C

A constante C é determinada usando a condição inicial q(0).

(a) i(t) = 3 \ \text{A}, \quad q(0) = 1 \ \text{C}

Passo 1: Integrar a corrente:

q(t) = \int 3 \ dt = 3t + C

Passo 2: Aplicar condição inicial:

q(0) = 3(0) + C = 1 \Rightarrow C = 1

Resposta: q(t) = (3t + 1) \ \text{C}

(b) i(t) = (2t + 5) \ \text{mA}, \quad q(0) = 0

Passo 1: Integrar a corrente:

q(t) = \int (2t + 5) \ dt = t^2 + 5t + C \ \text{mC}

Passo 2: Aplicar condição inicial:

q(0) = 0^2 + 5(0) + C = 0 \Rightarrow C = 0

Resposta: q(t) = (t^2 + 5t) \ \text{mC}

(c) i(t) = 20 \cos\left(10t + \frac{\pi}{6}\right) \ \mu\text{A}, \quad q(0) = 2 \ \mu\text{C}

Passo 1: Integrar usando substituição:
q(t) = \int 20 \cos\left(10t + \frac{\pi}{6}\right) dt

q(t) = \frac{20}{10} \sin\left(10t + \frac{\pi}{6}\right) + C = 2 \sin\left(10t + \frac{\pi}{6}\right) + C \ \mu\text{C}

Passo 2: Aplicar condição inicial:
q(0) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + C = 2 \cdot \frac{1}{2} + C = 1 + C = 2

\Rightarrow C = 1

Resposta: q(t) = \left[2 \sin\left(10t + \frac{\pi}{6}\right) + 1\right] \ \mu\text{C}

(d) i(t) = 10e^{-30t} \sin 40t \ \text{A}, \quad q(0) = 0

Passo 1: Resolver a integral usando integração por partes:

q(t) = 10 \int e^{-30t} \sin 40t \ dt

Passo 2: Usando a fórmula para \int e^{at} \sin(bt) dt = \frac{e^{at}[a \sin(bt) - b \cos(bt)]}{a^2 + b^2}:
\int e^{-30t} \sin 40t \ dt = \frac{e^{-30t}[-30 \sin 40t - 40 \cos 40t]}{(-30)^2 + (40)^2}

= \frac{e^{-30t}[-30 \sin 40t - 40 \cos 40t]}{900 + 1600} = \frac{e^{-30t}[-30 \sin 40t - 40 \cos 40t]}{2500}

Passo 3: Multiplicar por 10:
q(t) = 10 \cdot \frac{e^{-30t}[-30 \sin 40t - 40 \cos 40t]}{2500} + C
q(t) = \frac{e^{-30t}[-30 \sin 40t - 40 \cos 40t]}{250} + C
q(t) = -\frac{e^{-30t}[3 \sin 40t + 4 \cos 40t]}{25} + C

Passo 4: Aplicar condição inicial:
q(0) = -\frac{e^{0}[3 \cdot 0 + 4 \cdot 1]}{25} + C = -\frac{4}{25} + C = 0
\Rightarrow C = \frac{4}{25}

Resposta: q(t) = \left[-\frac{e^{-30t}(3 \sin 40t + 4 \cos 40t)}{25} + \frac{4}{25}\right] \ \text{C}

Respostas:

(a) q(t) = (3t + 1) \ \text{C}

(b) q(t) = (t^2 + 5t) \ \text{mC}

(c) q(t) = \left[2 \sin\left(10t + \frac{\pi}{6}\right) + 1\right] \ \mu\text{C}

(d) q(t) = \left[-\frac{e^{-30t}(3 \sin 40t + 4 \cos 40t)}{25} + \frac{4}{25}\right] \ \text{C}