Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.
Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z=\sqrt{x^2+y^2} e abaixo da esfera x^2+y^2+z^2=1.
Passo 1
Precisamos decidir se é melhor usar coordenas esféricas ou cilíndricas para calcular tanto o volume como o centro de massa do sólido. Como ele é limitado por uma esfera, me parece mais lógico usar coordenadas esféricas. Teríamos assim 0 \leq \rho \leq 1. Vamos ver como fica a equação do cone nessas coordenadas:
z^2=x^2+y^2 \Rightarrow \rho^2 \cos ^2 \phi=\rho^2 \operatorname{sen}^2 \phi\left(\cos ^2 \theta+\operatorname{sen}^2 \theta\right)
Assim,
\operatorname{sen} \phi=\cos \phi \Rightarrow \phi=\pi / 4
Desta forma, pegando apenas a parte de cima do cone, temos que o sólido é limitado por 0 \leq \phi \leq \pi / 4, enquanto \theta pode variar livremente de 0 a 2 \pi.
Assim, o volume será
V=\iiint_D d V=\int_0^{2 \pi} \int_0^{\pi / 4} \int_0^1 \rho^2 \operatorname{sen} \phi d \rho d \phi d \theta
Já para o centro de massa, note que como o eixo de simetria do sólido está na direção z e vamos supor que a distribuição de massa é uniforme (densidade constante), temos que \bar{x}=\bar{y}=0. Assim, resta
\bar{z}=\dfrac{1}{V} \iiint_D z d V=\dfrac{1}{V} \int_0^{2 \pi} \int_0^{\pi / 4} \int_0^1 \rho^3 \cos \phi \operatorname{sen} \phi d \rho d \phi d \theta
Passo 2
Calculando a integral em \theta:
V=2 \pi \int_0^1 \rho^2 d \rho \int_0^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{sen} \phi d \phi
Assim,
V=2 \pi \cdot \frac{1}{3} \cdot[-\cos \phi]_0^{\frac{\pi}{4}}=\dfrac{2 \pi}{3}\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{\pi(2-\sqrt{2})}{3}
Passo 3
Para o centroide,
\bar{z}=\dfrac{2 \pi}{V} \int_0^1 \rho^3 d \rho \int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\operatorname{sen} 2 \phi}{2} d \phi
Usei que \operatorname{sen} 2 x=2 \operatorname{sen} x \cos x. Fazendo as integrais,
\bar{z}=\dfrac{2 \pi}{V} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot\left[-\dfrac{\cos 2 \phi}{4}\right]_0^{\frac{\pi}{4}}=\dfrac{\pi}{2 V} \cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{\pi}{V}
Usando que
\dfrac{\pi}{V}=\dfrac{3}{2-\sqrt{2}}
temos que
\bar{z}=\dfrac{3}{8(2-\sqrt{2})}
Resposta
V=\dfrac{\pi(2-\sqrt{2})}{3} e\left(0,0, \dfrac{3}{8(2-\sqrt{2})}\right)
