Charles K. Alexander e Matthew Sadiku - Fundamentos De Circuitos Elétricos - 5a Edição

Problema 1.15
A corrente que entra pelo terminal positivo de um dispositivo é i(t) = 6e^{-2t} \ \text{mA} e a tensão neste mesmo dispositivo é v(t) = 10\frac{di}{dt} \ \text{V}.

(a) Determine a carga liberada para o dispositivo entre t = 0 e t = 2 \ \text{s}.
(b) Calcule a potência absorvida.
(c) Determine a energia absorvida em 3 s.

(a) Carga liberada entre t = 0 e t = 2 \ \text{s}

Passo 1: Carga como integral da corrente
q = \int_0^2 i(t) dt = \int_0^2 6e^{-2t} dt

Passo 2: Resolver a integral
q = \left[\frac{6}{-2}e^{-2t}\right]_0^2 = \left[-3e^{-2t}\right]_0^2
q = -3e^{-4} - (-3e^{0}) = -3e^{-4} + 3
q = 3(1 - e^{-4}) \ \text{mC}

Passo 3: Calcular numericamente
e^{-4} \approx 0,01832
q \approx 3(1 - 0,01832) = 3 \times 0,98168 = 2,945 \ \text{mC}

Resposta (a): 2,945 \ \text{mC}

(b) Potência absorvida

Passo 4: Calcular a derivada da corrente
\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt}(6e^{-2t}) = 6 \cdot (-2)e^{-2t} = -12e^{-2t} \ \text{mA/s}
\frac{di}{dt} = -12 \times 10^{-3}e^{-2t} \ \text{A/s}

Passo 5: Expressar a tensão
v(t) = 10\frac{di}{dt} = 10 \cdot (-12 \times 10^{-3}e^{-2t}) = -0,12e^{-2t} \ \text{V}

Passo 6: Calcular a potência
p(t) = v(t) \cdot i(t) = (-0,12e^{-2t}) \cdot (6 \times 10^{-3}e^{-2t})
p(t) = -0,72 \times 10^{-3}e^{-4t} \ \text{W}
p(t) = -720e^{-4t} \ \mu\text{W}

Resposta (b): p(t) = -720e^{-4t} \ \mu\text{W}

(c) Energia absorvida em 3 s

Passo 7: Integrar a potência
E = \int_0^3 p(t) dt = \int_0^3 -720e^{-4t} dt

Passo 8: Resolver a integral
E = -720 \left[\frac{e^{-4t}}{-4}\right]_0^3 = 180\left[e^{-4t}\right]_0^3
E = 180(e^{-12} - e^{0}) = 180(e^{-12} - 1) \ \mu\text{J}

Passo 9: Calcular numericamente
e^{-12} \approx 6,14 \times 10^{-6} \approx 0
E \approx 180(0 - 1) = -180 \ \mu\text{J}

Resposta (c): -180 \ \mu\text{J}

Respostas Finais:
(a) 2,945 \ \text{mC}
(b) p(t) = -720e^{-4t} \ \mu\text{W}
(c) -180 \ \mu\text{J}