Uma bobina conduzindo uma corrente de 5,0 A é constituída por 100 espiras circulares enroladas de modo compacto, cada uma com raio igual a 0,60 m .
a) Determine o módulo do campo magnético ao longo do eixo da bobina, situado a uma distância de 0,80 m do seu centro.
b) Em que ponto ao longo do eixo da bobina o campo magnético se reduz a \dfrac{1}{8} do valor do campo no centro da bobina?
c) Determine o valor do momento de dipolo magnético que pode ser associado à essa bobina.
Passo 1
A gente tem uma bobina condutora com N espiras enroladas e empilhadas umas sobre as outras de forma bastante compacta. Isso significa que a distância do centro de cada uma das N espiras até o ponto P tem o mesmo valor z!! Blz? Então, o módulo campo magnético produzido pela bobina no ponto z sobre o eixo de simetria da bobina pode ser calculado como N vezes o campo produzido em z por uma única espira, ou seja,
\vec{B}=B_z \hat{z}=N \times \dfrac{\mu_0 I R^2}{2\left(z^2+R^2\right)^{\frac{3}{2}}} \hat{z},
sendo que o módulo do campo magnético produzido por uma única bobina é
B_z=\dfrac{\mu_0 I R^2}{2\left(z^2+R^2\right)^{\frac{3}{2}}}.
Guarda essa expressão no seu coração aí, porque ela aparece, hein?!! 😉
Sigamos…
Passo 2
a) Se você substitui os valores fornecidos lá no enunciado, a gente o seguinte:
B_z=100 \times 4 \pi \times 10^{-7} \times 5 \times \dfrac{0,6^2}{2\left(0,8^2+0,6^2\right)^{\frac{3}{2}}}=1,1 \times 10^{-4} \mathrm{~T}.
Tranquilo, né? Só substituir os valores lá do enunciado.
Passo 3
b) Neste item, precisamos encontrar a distância z tal que
B_z=\dfrac{1}{8} B_{z=0} \Rightarrow \dfrac{N \mu_0 I R^2}{2\left(z^2+R^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\dfrac{1}{8} \dfrac{N \mu_0 I R^2}{2\left(R^2\right)^{\frac{3}{2}}}.
Simplificando essa expressão, obtemos:
\left(z^2+R^2\right)^{\frac{3}{2}}=2^3 R^3 \Rightarrow z^2+R^2=2^2 R^2 \Rightarrow z= \pm \sqrt{R^2\left(2^2-1\right)}= \pm R \sqrt{3} .
Portanto,
z= \pm \sqrt{3} R= \pm 1,04 m
Essas são as posições nas quais o campo magnético é igual a \dfrac{1}{8} do campo magnético produzido pela corrente I no centro da bobina, em z=0.
Passo 4
c) \mathrm{O} momento magnético que pode ser associado à essa bobina pode ser escrito como
\mu=N I A,
sendo qua A nessa expressão é a área de cada uma das espiras da bobina, tranquilo? Seguindo e colocando os valores do enunciado, temos
\mu=N I A=N I \pi R^2=(100) \times(5,0) \times \pi \times(0,6)^2=5,7 \times 10^2 \text { A. } m^2.
Esse é o valor do dipole magnético associado à bobina de N espiras.
Resposta
a. B_z=1,1 \times 10^{-4} T;
b. z= \pm \sqrt{3} R= \pm 1,04 m;
c. \mu=5,7 \times 10^2 A. m^2.
