Charles K. Alexander e Matthew Sadiku - Fundamentos De Circuitos Elétricos - 5a Edição

Problema 1.14
A tensão v em um dispositivo e a corrente i através dele são
v(t) = 10 \cos 2t \ \text{V}, \quad i(t) = 20(1 - e^{-0.5t}) \ \text{mA}
Calcule:
(a) A carga total no dispositivo em t = 1 \ \text{s}.
(b) A potência consumida pelo dispositivo em t = 1 \ \text{s}.

(a) Carga total em t = 1 \ \text{s}

Passo 1: Relação entre carga e corrente
q(t) = \int i(t) dt

Passo 2: Integrar a corrente
q(t) = \int 20(1 - e^{-0,5t}) dt = \int (20 - 20e^{-0,5t}) dt
q(t) = 20t - 20 \cdot \frac{e^{-0,5t}}{-0,5} + C = 20t + 40e^{-0,5t} + C

Passo 3: Determinar a constante C
Assumindo q(0) = 0:
q(0) = 20(0) + 40e^0 + C = 40 + C = 0 \Rightarrow C = -40
q(t) = 20t + 40e^{-0,5t} - 40 \ \text{mC}

Passo 4: Calcular em t = 1 \ \text{s}
q(1) = 20(1) + 40e^{-0,5} - 40 = 20 + 40 \cdot 0,60653 - 40
q(1) = 20 + 24,2612 - 40 = 4,2612 \ \text{mC}

Resposta (a): 4,261 \ \text{mC}

(b) Potência consumida em t = 1 \ \text{s}

Passo 5: Fórmula da potência instantânea
p(t) = v(t) \cdot i(t)

Passo 6: Calcular em t = 1 \ \text{s}
p(1) = [10 \cos(2 \cdot 1)] \cdot [20(1 - e^{-0,5 \cdot 1})]
p(1) = [10 \cos(2)] \cdot [20(1 - e^{-0,5})]
\cos(2) \approx -0,4161
1 - e^{-0,5} \approx 1 - 0,60653 = 0,39347
p(1) = 10 \cdot (-0,4161) \cdot 20 \cdot 0,39347
p(1) = -83,22 \cdot 0,39347 \approx -32,74 \ \text{mW}

Resposta (b): -32,74 \ \text{mW}

Respostas Finais:
(a) 4,261 \ \text{mC}
(b) -32,74 \ \text{mW}