Duas pequenas esferas de alumínio, cada uma com massa igual a 0,0250 kg, estão separadas por uma distância de 80,0 cm. (a) Quantos elétrons estão presentes em cada esfera? (O número atômico do alumínio é 13 e sua massa atômica é 26,982 g/mol.) (b) Quantos elétrons devem ser removidos de uma esfera e adicionados à outra para que o módulo da força de atração entre elas seja igual a 1,00 x 10^(4) N (aproximadamente igual ao peso de uma tonelada)? Suponha que as esferas possam ser tratadas como cargas puntiformes. (c) A que fração da carga total de cada esfera essa quantidade corresponde?

Passo 1

Olá! Vamos resolver este problema sobre as propriedades elétricas de uma esfera de alumínio.

Dados:

• Massa da esfera (m) = 25 \text{ g}
• Massa molar do alumínio (M) = 26,982 \text{ g/mol}
• Número atômico do alumínio (Z) = 13
• Número de Avogadro (N_A) = 6,02 \times 10^{23} \text{ átomos/mol}
• Carga elementar (e) = 1,6 \times 10^{-19} \text{ C}
• Força elétrica (F) = 1 \times 10^4 \text{ N}
• Distância entre esferas (d) = 80 \text{ cm} = 0,80 \text{ m}
• Constante eletrostática (k) = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2

Letra (a) – Número total de elétrons e carga negativa total

Cálculo do número de mols (n_{\text{mols}}):

n_{\text{mols}} = \dfrac{m}{M} = \dfrac{25}{26,982} \approx 0,9267 \text{ mol}

Cálculo do número de átomos (N_{\text{átomos}}):
N_{\text{átomos}} = n_{\text{mols}} \cdot N_A = 0,9267 \cdot 6,02 \times 10^{23}

N_{\text{átomos}} \approx 5,58 \times 10^{23} \text{ átomos}

Cálculo do número total de elétrons (N_e):
N_e = Z \cdot N_{\text{átomos}} = 13 \cdot 5,58 \times 10^{23}

N_e \approx 7,25 \times 10^{24} \text{ elétrons}

Cálculo da carga negativa total (Q_{\text{total}}):
Q_{\text{total}} = N_e \cdot e = (7,25 \times 10^{24}) \cdot (1,6 \times 10^{-19})

Q_{\text{total}} = 1,16 \times 10^6 \text{ C}

Letra (b) – Número de elétrons transferidos para produzir a força dada

Usando a Lei de Coulomb:
F = \dfrac{k \cdot q^2}{d^2}

q^2 = \dfrac{F \cdot d^2}{k} = \dfrac{(1 \times 10^4) \cdot (0,80)^2}{9 \times 10^9}

q^2 = \dfrac{6400}{9 \times 10^9} = 7,111 \times 10^{-7}

q = \sqrt{7,111 \times 10^{-7}} = 8,43 \times 10^{-4} \text{ C}

Número de elétrons transferidos (n_{\text{transferidos}}):
n_{\text{transferidos}} = \dfrac{q}{e} = \dfrac{8,43 \times 10^{-4}}{1,6 \times 10^{-19}}

n_{\text{transferidos}} = 5,27 \times 10^{15} \text{ elétrons}

Letra (c) – Fração de elétrons transferidos

Cálculo da fração:
f = \dfrac{n_{\text{transferidos}}}{N_e} = \dfrac{5,27 \times 10^{15}}{7,25 \times 10^{24}}

f = 7,27 \times 10^{-10}

Respostas Finais

a) Número total de elétrons: 7,25 \times 10^{24}

b) Número de elétrons transferidos: 5,27 \times 10^{15}

c) Fração de elétrons transferidos: 7,27 \times 10^{-10}