Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Mostre que a razão da atração eletrostática para a atração gravitacional entre um elétron e um próton é independente da distância entre eles e calcule essa razão.

Passo 1: Entendendo o Problema

Queremos comparar a intensidade da força eletrostática com a força gravitacional entre um elétron e um próton. O interessante é que essa razão não depende da distância entre as partículas, como veremos a seguir.

Passo 2: Expressando as Forças

A força gravitacional entre duas massas é dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton:

|F_g| = \dfrac{G \cdot m_e \cdot m_p}{d^2}

onde:

• G = 6,672 \times 10^{-11} \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2} (constante gravitacional),
• m_e = 9,109 \times 10^{-31} \text{kg} (massa do elétron),
• m_p = 1,672 \times 10^{-27} \text{kg} (massa do próton),
• d é a distância entre as partículas.

Já a força eletrostática é dada pela Lei de Coulomb:

|F_e| = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \dfrac{q_e \cdot q_p}{d^2}

onde:

• \epsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} \text{F/m} (permissividade do vácuo),
• q_e = q_p = e = 1,602 \times 10^{-19} \text{C} (carga elementar).

Passo 3: Calculando a Razão

A razão entre as forças é:

\dfrac{|F_e|}{|F_g|} = \dfrac{\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \dfrac{e^2}{d^2}}{\dfrac{G \cdot m_e \cdot m_p}{d^2}}

Note que o termo d^2 aparece no numerador e no denominador — eles se cancelam! Isso significa que a razão realmente não depende da distância d . Simplificando:

\dfrac{|F_e|}{|F_g|} = \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \cdot G \cdot m_e \cdot m_p}

Passo 4: Substituindo os Valores

Agora é só substituir as constantes:

• e = 1,602 \times 10^{-19}
• \epsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12}
• G = 6,672 \times 10^{-11}
• m_e = 9,109 \times 10^{-31}
• m_p = 1,672 \times 10^{-27}

Vamos calcular passo a passo:

Numerador:
e^2 = (1,602 \times 10^{-19})^2 = 2,566 \times 10^{-38}

Denominador:
4\pi\epsilon_0 = 4 \cdot 3,1416 \cdot 8,85 \times 10^{-12} \approx 1,112 \times 10^{-10}
G \cdot m_e \cdot m_p = (6,672 \times 10^{-11}) \cdot (9,109 \times 10^{-31}) \cdot (1,672 \times 10^{-27}) \approx 1,016 \times 10^{-67}

\text{Denominador total} = (1,112 \times 10^{-10}) \cdot (1,016 \times 10^{-67}) \approx 1,129 \times 10^{-77}

Razão:

\dfrac{|F_e|}{|F_g|} = \dfrac{2,566 \times 10^{-38}}{1,129 \times 10^{-77}} \approx 2,27 \times 10^{39}

Arredondando para um valor significativo:

\dfrac{|F_e|}{|F_g|} \approx 2,3 \times 10^{39}

Resposta Final

A razão entre a força eletrostática e a gravitacional entre um elétron e um próton é:

\dfrac{|F_e|}{|F_g|} \simeq 2,3 \times 10^{39}

Isso mostra que a força elétrica é cerca de 10^{39} vezes mais intensa que a força gravitacional!