Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Uma distribuição de carga esfericamente simétrica tem densidade volumétrica de carga dada por

\rho(r) = \rho_0 \exp\left(-\dfrac{r}{a}\right) \quad (0 \leq r < \infty)

onde \rho_0 é uma constante e r é a distância à origem.

(a) Calcule a carga total da distribuição
(b) Calcule o campo elétrico num ponto qualquer do espaço.

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Resolução Passo a Passo:

A distribuição possui simetria esférica. Para a carga total, integra-se a densidade de carga em todo o volume. Para o campo elétrico, usa-se a Lei de Gauss, pois a simetria garante que o campo é radial e seu módulo depende apenas de r.

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(a) Cálculo da Carga Total Q

Passo 1: Expressão geral para a carga total.
A carga total é a integral da densidade de carga sobre todo o espaço:

Q = \int \rho(r) \ dV

Passo 2: Elemento de volume em coordenadas esféricas.
Devido à simetria esférica, o elemento de volume é o volume de uma casca esférica de raio r e espessura dr:

dV = 4\pi r^2 \ dr

Passo 3: Montar a integral para Q.
Substituindo \rho(r) e dV:
Q = \int_{0}^{\infty} \rho_0 e^{-r/a} \cdot (4\pi r^2 \ dr)

Q = 4\pi \rho_0 \int_{0}^{\infty} e^{-r/a} \ r^2 \ dr

Passo 4: Resolver a integral.
Esta integral é resolvida por integração por partes duas vezes. O resultado da integral indefinida é:

\int e^{-r/a} \ r^2 \ dr = -a e^{-r/a} (r^2 + 2ar + 2a^2)

Aplicando os limites de integração de 0 a L e depois tomando o limite quando L \to \infty:
\int_{0}^{L} e^{-r/a} \ r^2 \ dr = \left[ -a e^{-r/a} (r^2 + 2ar + 2a^2) \right]_{0}^{L}
= \left[ -a e^{-L/a} (L^2 + 2aL + 2a^2) \right] - \left[ -a e^{0} (0 + 0 + 2a^2) \right]

= -a e^{-L/a} (L^2 + 2aL + 2a^2) + 2a^3

Passo 5: Calcular o limite para L \to \infty.
Quando L \to \infty, o termo e^{-L/a} \to 0. Como L^2, L e a constante crescem mais lentamente que a exponencial no denominador, o primeiro termo vai para zero:

\lim_{L \to \infty} \int_{0}^{L} e^{-r/a} \ r^2 \ dr = 0 + 2a^3 = 2a^3

Passo 6: Obter a carga total.
Substituindo o resultado da integral na expressão para Q:
Q = 4\pi \rho_0 \cdot (2a^3)

Q = 8\pi \rho_0 a^3

Resposta do item (a): Q = 8\pi \rho_0 a^3

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(b) Cálculo do Campo Elétrico \vec{E}(r)

Passo 1: Aplicar a Lei de Gauss.
Devido à simetria esférica, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada na origem. A Lei de Gauss fornece:
\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \dfrac{Q_{int}(r)}{\epsilon_0}
Onde Q_{int}(r) é a carga contida dentro da esfera de raio r.

Passo 2: Calcular o fluxo e isolar o campo.
Como \vec{E} é radial e constante na gaussiana:
E(r) \cdot (4\pi r^2) = \dfrac{Q_{int}(r)}{\epsilon_0}

E(r) = \dfrac{Q_{int}(r)}{4\pi \epsilon_0 r^2}

Passo 3: Determinar Q_{int}(r).
A carga interna é a integral da densidade de carga de 0 até r:
Q_{int}(r) = \int_{0}^{r} \rho(r') \ dV = \int_{0}^{r} \rho_0 e^{-r'/a} \cdot 4\pi (r')^2 \ dr'

Q_{int}(r) = 4\pi \rho_0 \int_{0}^{r} e^{-r'/a} \ (r')^2 \ dr'

Passo 4: Resolver a integral definida.
Usando o resultado da integral do item (a) com limite superior r em vez de L:
\int_{0}^{r} e^{-r'/a} \ (r')^2 \ dr' = \left[ -a e^{-r'/a} ((r')^2 + 2a r' + 2a^2) \right]_{0}^{r}
= \left[ -a e^{-r/a} (r^2 + 2a r + 2a^2) \right] - \left[ -a (2a^2) \right]
= -a e^{-r/a} (r^2 + 2a r + 2a^2) + 2a^3

= 2a^3 - a e^{-r/a} (r^2 + 2a r + 2a^2)

Passo 5: Escrever Q_{int}(r) explicitamente.
Substituindo na expressão:
Q_{int}(r) = 4\pi \rho_0 \left[ 2a^3 - a e^{-r/a} (r^2 + 2a r + 2a^2) \right]

Q_{int}(r) = 8\pi \rho_0 a^3 - 4\pi \rho_0 a e^{-r/a} (r^2 + 2a r + 2a^2)

Passo 6: Substituir na expressão do campo elétrico.
E(r) = \dfrac{1}{4\pi \epsilon_0 r^2} \left[ 8\pi \rho_0 a^3 - 4\pi \rho_0 a e^{-r/a} (r^2 + 2a r + 2a^2) \right]

E(r) = \dfrac{2 \rho_0 a^3}{\epsilon_0 r^2} - \dfrac{\rho_0 a e^{-r/a} (r^2 + 2a r + 2a^2)}{\epsilon_0 r^2}

Passo 7: Fatorar e simplificar a expressão.
Colocando \dfrac{2 \rho_0 a^3}{\epsilon_0 r^2} em evidência:
E(r) = \dfrac{2 \rho_0 a^3}{\epsilon_0 r^2} \left[ 1 - \dfrac{e^{-r/a} (r^2 + 2a r + 2a^2)}{2a^2} \right]

E(r) = \dfrac{2 \rho_0 a^3}{\epsilon_0 r^2} \left[ 1 - \dfrac{1}{2} e^{-r/a} \left( \dfrac{r^2}{a^2} + \dfrac{2r}{a} + 2 \right) \right]

Passo 8: Expressar o campo como vetor.
O campo é radial. Para \rho_0 > 0, ele aponta para fora.

\vec{E}(r) = \dfrac{2 \rho_0 a^3}{\epsilon_0 r^2} \left[ 1 - \dfrac{1}{2} e^{-r/a} \left( \dfrac{r^2}{a^2} + \dfrac{2r}{a} + 2 \right) \right] \hat{r}

Resposta do item (b):

\vec{E}(r) = \dfrac{2 \rho_0 a^3}{\epsilon_0 r^2} \left[ 1 - \dfrac{1}{2} e^{-r/a} \left( \dfrac{r^2}{a^2} + \dfrac{2r}{a} + 2 \right) \right] \hat{r}

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Resumo das Respostas Finais:

(a) Carga Total: Q = 8\pi \rho_0 a^3

(b) Campo Elétrico:

\vec{E}(r) = \dfrac{2 \rho_0 a^3}{\epsilon_0 r^2} \left[ 1 - \dfrac{1}{2} e^{-r/a} \left( \dfrac{r^2}{a^2} + \dfrac{2r}{a} + 2 \right) \right] \hat{r}