Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Uma gota líquida de raio R, uniformemente carregada com carga Q, divide-se em duas, de raios e cargas iguais, que se separam e se afastam até ficar a grande distância uma da outra.

(a) Qual é a variação da energia potencial eletrostática nesse processo?

(b) Se adotássemos esse modelo para a fissão do U^{235}, admitindo que ele pudesse se fissionar dessa forma, qual seria a energia liberada na fissão, em MeV? Calcule o raio do núcleo pela fórmula:
R \approx 1,3 \times A^{1/3} \, \text{F},
onde 1F (fermi) = 10^{-13} cm e A é o número de massa (n.º de prótons + n.º de nêutrons).

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Resolução Passo a Passo:

(a) Variação da Energia Potencial Eletrostática

Passo 1: Energia potencial de uma esfera uniformemente carregada.
Para uma esfera de raio R com carga Q uniformemente distribuída, a energia eletrostática (energia necessária para montar a esfera) é:
U = \dfrac{3}{5} \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{Q^2}{R}
Frequentemente se escreve k = 1/(4\pi\epsilon_0), então:

U = \dfrac{3}{5} k \dfrac{Q^2}{R}

Passo 2: Condições após a divisão.
A gota original divide-se em duas gotas iguais:

• Cada gota menor tem carga: q = \dfrac{Q}{2}
• Conservação de volume: \dfrac{4}{3}\pi R^3 = 2 \times \dfrac{4}{3}\pi r^3 \Rightarrow r^3 = \dfrac{R^3}{2} \Rightarrow r = 2^{-1/3} R

Passo 3: Energia das duas gotas separadas.
A energia de cada gota menor é:
U_1 = \dfrac{3}{5} k \dfrac{q^2}{r} = \dfrac{3}{5} k \dfrac{(Q/2)^2}{2^{-1/3}R}

U_1 = \dfrac{3}{5} k \dfrac{Q^2}{4} \cdot 2^{1/3} \dfrac{1}{R} = \dfrac{3}{5} k \dfrac{Q^2}{R} \cdot \dfrac{2^{1/3}}{4}

A energia total das duas gotas é 2U_1:

U_{final} = 2 \times \dfrac{3}{5} k \dfrac{Q^2}{R} \cdot \dfrac{2^{1/3}}{4} = \dfrac{3}{5} k \dfrac{Q^2}{R} \cdot \dfrac{2^{1/3}}{2}

Passo 4: Variação da energia potencial.
A variação \Delta U = U_{final} - U_{inicial} (energia liberada será -\Delta U se for negativa).

\Delta U = \dfrac{3}{5} k \dfrac{Q^2}{R} \left( \dfrac{2^{1/3}}{2} - 1 \right)

Note que \dfrac{2^{1/3}}{2} = 2^{1/3} \cdot 2^{-1} = 2^{-2/3}. Portanto:

\Delta U = \dfrac{3}{5} k \dfrac{Q^2}{R} \left( 2^{-2/3} - 1 \right)

Como 2^{-2/3} \approx 0.62996, temos 2^{-2/3} - 1 \approx -0.37004. Então \Delta U < 0, indicando que a energia eletrostática diminui.

Resposta (a): \Delta U = \dfrac{3}{5} \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{Q^2}{R} \left( 2^{-2/3} - 1 \right)

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(b) Aplicação à fissão do U[ katex]^{235}[/katex]

Passo 1: Parâmetros do núcleo de Urânio-235.

• Número atômico Z = 92 (92 prótons)
• Carga total: Q = Ze = 92e
• Número de massa A = 235
• Raio nuclear: R = 1.3 \times A^{1/3} \, \text{F}, onde 1 \, \text{F} = 10^{-13} \, \text{cm} = 10^{-15} \, \text{m}

Passo 2: Calcular o raio.
A^{1/3} = 235^{1/3} \approx 6.171

R = 1.3 \times 6.171 \times 10^{-15} \, \text{m} = 8.022 \times 10^{-15} \, \text{m}

Passo 3: Calcular a energia liberada.
A energia liberada E_{lib} é a diminuição da energia eletrostática: E_{lib} = -\Delta U.
Da parte (a):

E_{lib} = \dfrac{3}{5} \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{Q^2}{R} \left( 1 - 2^{-2/3} \right)

Passo 4: Substituir valores.

• \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} = 8.9875 \times 10^9 \, \text{Nm}^2/\text{C}^2
• e = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}
• Q = 92e = 92 \times 1.602 \times 10^{-19} = 1.4738 \times 10^{-17} \, \text{C}
• 1 - 2^{-2/3} \approx 1 - 0.62996 = 0.37004

Calcular Q^2:

Q^2 = (1.4738 \times 10^{-17})^2 = 2.172 \times 10^{-34} \, \text{C}^2

Agora calcule a expressão:

E_{lib} = \dfrac{3}{5} \times (8.9875 \times 10^9) \times \dfrac{2.172 \times 10^{-34}}{8.022 \times 10^{-15}} \times 0.37004

Primeiro calcule \dfrac{Q^2}{R}:

\dfrac{Q^2}{R} = \dfrac{2.172 \times 10^{-34}}{8.022 \times 10^{-15}} = 2.707 \times 10^{-20} \, \text{C}^2/\text{m}

Agora:
E_{lib} = \dfrac{3}{5} \times (8.9875 \times 10^9) \times (2.707 \times 10^{-20}) \times 0.37004
E_{lib} = 0.6 \times (8.9875 \times 10^9) \times (2.707 \times 10^{-20}) \times 0.37004
E_{lib} = 0.6 \times (8.9875 \times 10^9) \times (1.0017 \times 10^{-20})
E_{lib} = 0.6 \times 9.003 \times 10^{-11}

E_{lib} = 5.402 \times 10^{-11} \, \text{J}

Passo 5: Converter para MeV.
1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J} \Rightarrow 1 \, \text{MeV} = 1.602 \times 10^{-13} \, \text{J}

E_{lib} = \dfrac{5.402 \times 10^{-11}}{1.602 \times 10^{-13}} \, \text{MeV} \approx 337 \, \text{MeV}

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Resumo das Respostas Finais:

(a) A variação da energia potencial eletrostática é:
\Delta U = \dfrac{3}{5} \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{Q^2}{R} \left( 2^{-2/3} - 1 \right)
(que é negativa, indicando liberação de energia).

(b) Para o núcleo de U^{235} (Z=92, A=235):

• Raio: R \approx 8.02 \times 10^{-15} \, \text{m}
• Energia liberada: E_{lib} \approx 337 \, \text{MeV}