Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Duas esferinhas idênticas de massa m estão carregadas com carga q e suspensas por fios isolantes de comprimento l. O ângulo de abertura resultante é 2\theta (fig.).
(a) Mostre que q^2 \cos \theta = 16 \pi \epsilon_0 l^2 mg \sin^3 \theta
(b) Se m = 1 \ \text{g}, l = 20 \ \text{cm} e \theta = 30^\circ, qual é o valor de q?

(a) Demonstração da relação

Passo 1: Diagrama de forças
Para uma das esferas, atuam:

• Força peso: P = mg (vertical para baixo)
• Tensão no fio: T (ao longo do fio)
• Força elétrica repulsiva: F_e (horizontal, afastando-se da outra esfera)

Passo 2: Equilíbrio nas direções
Sistema em equilíbrio:

• Vertical: T \cos \theta = mg
  T = \frac{mg}{\cos \theta}
• Horizontal: T \sin \theta = F_e

Passo 3: Substituir T e F_e
Lei de Coulomb: F_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{d^2}
\frac{mg}{\cos \theta} \cdot \sin \theta = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{d^2}
mg \tan \theta = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{d^2}

Passo 4: Relacionar d com l e \theta
Do triângulo formado pelo fio: \sin \theta = \frac{d/2}{l}
d = 2l \sin \theta

Passo 5: Substituir d
mg \tan \theta = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{(2l \sin \theta)^2}
mg \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1}{16\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{l^2 \sin^2 \theta}
Multiplicando ambos os lados por \cos \theta:
mg \sin \theta = \frac{1}{16\pi\varepsilon_0} \frac{q^2 \cos \theta}{l^2 \sin^2 \theta}
Rearranjando:
q^2 \cos \theta = 16\pi\varepsilon_0 l^2 mg \sin^3 \theta
Q.E.D.

(b) Cálculo numérico corrigido

Dados:
m = 1 \ \text{g} = 1 \times 10^{-3} \ \text{kg}
l = 20 \ \text{cm} = 0,2 \ \text{m}
\theta = 30^\circ
g = 9,8 \ \text{m/s}^2
\varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} \ \text{F/m}

Passo 1: Calcular \sin^3 \theta e \cos \theta
\sin 30^\circ = 0,5 → \sin^3 30^\circ = 0,125
\cos 30^\circ \approx 0,8660

Passo 2: Substituir na fórmula
Da relação demonstrada:
q^2 \cos \theta = 16\pi\varepsilon_0 l^2 mg \sin^3 \theta
q^2 \times 0,8660 = 16\pi \times 8,85 \times 10^{-12} \times (0,2)^2 \times 10^{-3} \times 9,8 \times 0,125

Passo 3: Calcular cada termo

• 16\pi \times 8,85 \times 10^{-12} = 4,447 \times 10^{-10}
• l^2 = (0,2)^2 = 0,04
• mg = 10^{-3} \times 9,8 = 9,8 \times 10^{-3}
• \sin^3 \theta = 0,125

Passo 4: Multiplicar
4,447 \times 10^{-10} \times 0,04 = 1,779 \times 10^{-11}
1,779 \times 10^{-11} \times 9,8 \times 10^{-3} = 1,744 \times 10^{-13}
1,744 \times 10^{-13} \times 0,125 = 2,180 \times 10^{-14}

Passo 5: Resolver para q^2
q^2 = \frac{2,180 \times 10^{-14}}{0,8660} = 2,516 \times 10^{-14}
q = \sqrt{2,516 \times 10^{-14}} = 1,587 \times 10^{-7} \ \text{C}

Resposta (b): q \approx 1,59 \times 10^{-7} \ \text{C} = 0,159 \ \mu\text{C}

Respostas Finais:
(a) Demonstração completa acima
(b) q \approx 1,6 \times 10^{-7} \ \text{C}