Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Uma carga Q é distribuída uniformemente sobre um fio semicircular de raio a. Calcule a força com que atua sobre uma carga de sinal oposto -q colocada no centro (fig.).

Passo 1: Configuração e densidade linear

O fio semicircular tem comprimento \pi a.
Densidade linear de carga:
\lambda = \dfrac{Q}{\pi a}

Passo 2: Elemento infinitesimal

Um elemento de comprimento dl = a , d\theta tem carga:
dq = \lambda , dl = \lambda a , d\theta

Posição do elemento em coordenadas polares: ângulo \theta em relação ao eixo +x, variando de 0 a \pi.

Passo 3: Força no elemento

Carga -q no centro.
Força atrativa (sinais opostos) entre -q e dq:
d\vec{F} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{(-q)(dq)}{a^2} , \hat{r}

O vetor unitário da direção de dq para o centro é:
\hat{r} = -\cos\theta , \hat{i} - \sin\theta , \hat{j}

Passo 4: Componentes da força

Substituindo:
d\vec{F} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q , dq}{a^2} (\cos\theta , \hat{i} + \sin\theta , \hat{j})

Componentes:
dF_x = \dfrac{q , dq}{4\pi\varepsilon_0 a^2} \cos\theta
dF_y = \dfrac{q , dq}{4\pi\varepsilon_0 a^2} \sin\theta

Passo 5: Integração

Substituindo dq = \lambda a , d\theta = \frac{Q}{\pi} , d\theta:

Componente x:
F_x = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 a^2} \cdot \dfrac{Q}{\pi} \int_0^\pi \cos\theta , d\theta
\int_0^\pi \cos\theta , d\theta = \sin\theta \big|_0^\pi = 0
F_x = 0

Componente y:
F_y = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 a^2} \cdot \dfrac{Q}{\pi} \int_0^\pi \sin\theta , d\theta
\int_0^\pi \sin\theta , d\theta = -\cos\theta \big|_0^\pi = -(-1) - (-1) = 2

Então:
F_y = \dfrac{qQ}{4\pi^2\varepsilon_0 a^2} \cdot 2 = \dfrac{qQ}{2\pi^2\varepsilon_0 a^2}

Passo 6: Vetor força resultante

\vec{F} = \dfrac{qQ}{2\pi^2\varepsilon_0 a^2} , \hat{j}

A força aponta verticalmente para cima (direção +y) porque a carga Q no semicírculo atrai a carga -q no centro.

Resposta Final:
A força é vertical para cima, com módulo:

F = \dfrac{qQ}{2\pi^2\varepsilon_0 a^2}