Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Uma carga puntiforme q é colocada numa caixa cúbica de aresta l . Calcule o fluxo do campo elétrico sobre cada uma das faces:
(a) se a carga ocupa o centro do cubo;
(b) se é colocada num dos vértices.

(a) Carga no centro do cubo

Passo 1: Aplicação da Lei de Gauss
O fluxo total através de uma superfície fechada contendo uma carga q é dado por:

\phi_{\text{total}} = \dfrac{q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = \dfrac{q}{\varepsilon_0}

Passo 2: Simetria e distribuição do fluxo

Quando a carga está no centro do cubo, a simetria é esférica. O cubo possui 6 faces idênticas, equidistantes da carga e com o mesmo ângulo entre o campo elétrico (radial) e a normal a cada face. Portanto, o fluxo total se divide igualmente entre as 6 faces:

\phi_{\text{face}} = \dfrac{1}{6} \phi_{\text{total}} = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{q}{\varepsilon_0}

Resposta (a):

(b) Carga em um vértice do cubo

Passo 1: Identificação das faces com fluxo não nulo

Quando a carga é colocada em um vértice do cubo, apenas 3 faces do cubo compartilham esse vértice. As outras 3 faces não contêm o vértice e estão orientadas de modo que o campo elétrico é paralelo a elas, resultando em fluxo nulo. Portanto, apenas essas 3 faces recebem fluxo não nulo.

Passo 2: Construção mental de um cubo maior usando simetria

Imagine 8 cubos idênticos colocados juntos, todos compartilhando o vértice onde a carga está localizada. Juntos, eles formam um cubo maior que envolve completamente a carga. Cada um dos 8 cubos pequenos corresponde a 1/8 do volume total ao redor da carga.

Passo 3: Fluxo total através do cubo maior
Pela Lei de Gauss, o fluxo total através da superfície do cubo maior é:

Passo 4: Fluxo através de um cubo pequeno
Devido à simetria do arranjo, o fluxo total se divide igualmente entre os 8 cubos pequenos:

\phi_{\text{cubo pequeno}} = \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{q}{\varepsilon_0} = \dfrac{q}{8\varepsilon_0}

Passo 5: Distribuição do fluxo entre as faces do cubo pequeno
No cubo pequeno que contém a carga em seu vértice, apenas 3 das 6 faces estão orientadas de modo a receber fluxo (aquelas que compartilham o vértice). As outras 3 faces têm fluxo nulo. Como o fluxo se distribui igualmente entre as 3 faces ativas:

\phi_{\text{face}} = \dfrac{1}{3} \cdot \phi_{\text{cubo pequeno}} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{q}{8\varepsilon_0}

Resposta (b):

Respostas finais:

(a) Carga no centro:

(b) Carga no vértice: