Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Uma camada carregada infinita compreendida entre os planos y = -a e y = a tem densidade volumétrica de carga \rho constante. Não há cargas fora dela. (a) Calcule o campo elétrico \vec{E} dentro, acima e abaixo da camada; (b) Verifique que \vec{E} satisfaz a equação de Poisson.

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Resolução Passo a Passo:

A distribuição é infinita nas direções x e z, e finita na direção y. Esta simetria planar indica que o campo elétrico será uniforme e perpendicular às placas (direção y) fora da camada, e terá uma variação linear dentro dela. O método adequado é a Lei de Gauss.

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(a) Cálculo do Campo Elétrico

Devido à simetria, o campo será da forma \vec{E} = E(y) \hat{j}. Usaremos superfícies gaussianas cilíndricas com tampas paralelas ao plano xz (perpendiculares ao eixo y).

Caso 1: Campo FORA da camada (|y| > a)

Considere um ponto com y > a. A superfície gaussiana é um cilindro (“pilastra”) com tampas de área A localizadas simetricamente em relação à origem, mas ambas fora da camada. Por exemplo, uma tampa em y_1 > a e a outra em y_2 < -a.

Passo 1.1: Aplicar a Lei de Gauss.

\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}

Passo 1.2: Calcular o fluxo.
O campo é perpendicular às tampas e nulo ou paralelo à superfície lateral.

• Fluxo na tampa superior (em y_1): \vec{E} \cdot d\vec{A} = E(y_1) A
• Fluxo na tampa inferior (em y_2): Como o campo aponta para longe da camada (se \rho>0), em y_2 < -a ele aponta no sentido negativo de y. O vetor área também aponta para baixo (d\vec{A} = -A \hat{j}). Portanto, \vec{E} \cdot d\vec{A} = (-E(y_2)\hat{j}) \cdot (-A\hat{j}) = E(y_2) A.
• Fluxo na lateral: \vec{E} \cdot d\vec{A} = 0 (campo é perpendicular à normal).
  Assim, o fluxo total é \Phi = E(y_1)A + E(y_2)A.

Passo 1.3: Calcular a carga interna.
Todo o cilindro gaussiano está fora da camada carregada. Portanto, Q_{int} = 0.

Passo 1.4: Igualar e concluir.
E(y_1)A + E(y_2)A = 0 \implies E(y_1) = -E(y_2)
Pela simetria da distribuição, os campos em pontos simétricos y e -y devem ter a mesma magnitude mas sentidos opostos: E(-y) = -E(y). Aplicando isso a y_2 = -y_1, temos E(y_1) = -E(-y_1) = -(-E(y_1)) = E(y_1), o que é uma identidade. Para encontrar o valor, precisamos de uma gaussiana que intercepte a carga.

Passo 1.5: Usar uma gaussiana que envolva toda a camada.
Considere um cilindro com uma tampa em y > a e a outra dentro da camada, em y=0. Agora, a carga interna é a contida no segmento do cilindro dentro da camada (|y| < a). A altura da parte carregada é 2a.

• Fluxo: \Phi = E_{fora}A + E_{dentro}(0)A. Pela simetria, o campo no centro (y=0) é zero. Logo, \Phi = E_{fora}A.
• Carga interna: Q_{int} = \rho \cdot V = \rho \cdot (A \cdot 2a) = 2\rho a A.
  Pela Lei de Gauss:
  E_{fora} A = \dfrac{2\rho a A}{\epsilon_0}
  E_{fora} = \dfrac{2\rho a}{\epsilon_0}

Passo 1.6: Definir o campo fora.
Para y > a, o campo aponta no sentido +\hat{j} (se \rho > 0). Para y < -a, o campo aponta no sentido -\hat{j}. Podemos escrever:
\vec{E}_{fora}(y) = \dfrac{\rho a}{\epsilon_0} \cdot \dfrac{y}{|y|} \hat{j} = \dfrac{\rho a}{\epsilon_0} \ \text{sgn}(y) \ \hat{j}
Onde \text{sgn}(y) é a função sinal.

Caso 2: Campo DENTRO da camada (|y| < a)

Considere um ponto com 0 < y < a. A superfície gaussiana é um cilindro com uma tampa em y “dentro” e a outra no plano centro y=0.

Passo 2.1: Aplicar a Lei de Gauss.

\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}

Passo 2.2: Calcular o fluxo.

• Fluxo na tampa em y: E(y) A
• Fluxo na tampa em y=0: Como o campo é zero em y=0 por simetria, o fluxo é 0.
• Fluxo lateral: 0.
  Portanto, \Phi = E(y) A.

Passo 2.3: Calcular a carga interna.
A parte do cilindro dentro da camada vai de y=0 até y. O volume é A \cdot y.

Q_{int} = \rho \cdot V = \rho A y

Passo 2.4: Igualar e isolar o campo.
E(y) A = \dfrac{\rho A y}{\epsilon_0}

E(y) = \dfrac{\rho y}{\epsilon_0}

Passo 2.5: Generalizar para todo |y| < a

Por simetria, para y negativo, o campo terá sinal oposto. A expressão geral é:

\vec{E}_{dentro}(y) = \dfrac{\rho y}{\epsilon_0} \hat{j}

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Resposta do Item (a):

• Para y > a: \vec{E} = \dfrac{\rho a}{\epsilon_0} \hat{j}
• Para -a \leq y \leq a: \vec{E} = \dfrac{\rho y}{\epsilon_0} \hat{j}
• Para y < -a: \vec{E} = -\dfrac{\rho a}{\epsilon_0} \hat{j}

Ou, em notação compacta:
\vec{E}(y) = \dfrac{\rho}{\epsilon_0} \cdot \begin{cases} a, & y > a \ y, & |y| \leq a \ -a, & y < -a \end{cases} \hat{j}

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(b) Verificação da Equação de Poisson

A equação de Poisson relaciona o divergente do campo elétrico com a densidade de carga:
\nabla \cdot \vec{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0}
Como nosso campo é unidirecional (\vec{E} = E(y) \hat{j}), o divergente se simplifica para \nabla \cdot \vec{E} = \dfrac{dE_y}{dy}.

Passo 3.1: Verificar para a região dentro (|y| < a).
E_y(y) = \dfrac{\rho y}{\epsilon_0}
\dfrac{dE_y}{dy} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0}
Esta é exatamente a equação de Poisson, pois dentro da camada \rho é constante e não nula.

Passo 3.2: Verificar para a região fora (|y| > a).
E_y(y) = \dfrac{\rho a}{\epsilon_0} \ \text{sgn}(y) (constante para y>a e constante para y<-a). Fora da camada, a densidade de carga é \rho = 0. A derivada de uma constante (por partes) é zero, exceto no ponto de descontinuidade. Para y > a: \dfrac{dE_y}{dy} = 0. E \dfrac{\rho}{\epsilon_0} = 0. A equação é satisfeita.
Para y < -a: \dfrac{dE_y}{dy} = 0. E \dfrac{\rho}{\epsilon_0} = 0. A equação é satisfeita.

Conclusão: A função E_y(y) definida por partes tem sua derivada igual a \rho/\epsilon_0 em todas as regiões onde é diferenciável (ou seja, em todo ponto exceto nas interfaces y = \pm a). Portanto, o campo satisfaz a equação de Poisson no sentido das distribuições.

Resposta do item (b): Sim, o campo elétrico calculado satisfaz a equação de Poisson, pois \dfrac{dE_y}{dy} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0} para |y| < a e \dfrac{dE_y}{dy} = 0 para |y| > a, que corresponde exatamente a \rho/\epsilon_0 sendo \rho a densidade de carga em cada região.

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Resumo das Respostas Finais:

(a)

\vec{E}(y) = \begin{cases} \dfrac{\rho a}{\epsilon_0} \hat{j}, & y > a \[10pt] \dfrac{\rho y}{\epsilon_0} \hat{j}, & -a \leq y \leq a \[10pt] -\dfrac{\rho a}{\epsilon_0} \hat{j}, & y < -a \end{cases}

(b) O campo satisfaz a equação de Poisson, pois sua derivada espacial (dE/dy) é igual a \rho/\epsilon_0 em cada região.