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7 de março de 2026
Capa do Livro Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Este material contém resoluções detalhadas de exercícios selecionados do livro Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição de H. Moysés Nussenzveig. Use os seletores abaixo para navegar entre as questões disponíveis.

Seja E a magnitude do campo num ponto P situado a uma distância D de um plano uniformemente carregado com densidade superficial de carga \sigma . A maior contribuição para E provém dos pontos mais próximos de P sobre o plano. Mostre que a região do plano situada a uma distância \leq 2D do ponto P é responsável pela metade (E/2) do campo em P .

Passo 1: Configuração

  • Plano infinito com densidade superficial \sigma .
  • Ponto P a uma distância D perpendicular ao plano.
  • Campo total de um plano infinito: E_{\infty} = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} .
  • Queremos mostrar que a contribuição de um disco de raio R = 2D (distância horizontal no plano) é E/2 .

Passo 2: Campo de um disco de raio R a uma distância D

Campo axial de um disco uniformemente carregado no eixo:

E(R) = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left( 1 - \dfrac{D}{\sqrt{D^2 + R^2}} \right)

Derivação:

Elemento de carga:
dq = \sigma \cdot 2\pi r , dr

Campo elementar na direção perpendicular:
dE_z = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{dq}{D^2 + r^2} \cos\theta
\cos\theta = \dfrac{D}{\sqrt{D^2 + r^2}}

Integrando:
E_z = \int_0^R \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{\sigma \cdot 2\pi r , dr}{D^2 + r^2} \cdot \dfrac{D}{\sqrt{D^2 + r^2}}
E_z = \dfrac{\sigma D}{2\varepsilon_0} \int_0^R \dfrac{r , dr}{(D^2 + r^2)^{3/2}}

Substituição:  u = D^2 + r^2, \quad du = 2r,dr
\int \dfrac{r,dr}{(D^2 + r^2)^{3/2}} = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{du}{u^{3/2}} = -\dfrac{1}{\sqrt{u}} + C

Avaliando de r=0 a r=R :
\left[ -\dfrac{1}{\sqrt{D^2 + r^2}} \right]_0^R = \dfrac{1}{D} - \dfrac{1}{\sqrt{D^2 + R^2}}

Resultado:
E(R) = \dfrac{\sigma D}{2\varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{D} - \dfrac{1}{\sqrt{D^2 + R^2}} \right) = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left( 1 - \dfrac{D}{\sqrt{D^2 + R^2}} \right)

Passo 3: Campo total para R \to \infty

E_{\infty} = \lim_{R \to \infty} E(R) = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}
Este é o campo total E mencionado no enunciado.

Passo 4: Região com r \leq 2D

A condição “região do plano situada a uma distância \leq 2D do ponto P ” significa que no plano, a distância radial r de P satisfaz r \leq 2D . Mas cuidado: a distância real entre um ponto no plano e P é \sqrt{D^2 + r^2} . A condição \sqrt{D^2 + r^2} \leq 2D implica r \leq \sqrt{(2D)^2 - D^2} = D\sqrt{3} .

Assim, o raio do disco que corresponde a pontos do plano cuja distância a P é \leq 2D é R = D\sqrt{3} .

Passo 5: Campo para R = D\sqrt{3}

E(R = D\sqrt{3}) = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left( 1 - \dfrac{D}{\sqrt{D^2 + 3D^2}} \right)
= \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left( 1 - \dfrac{D}{\sqrt{4D^2}} \right) = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left( 1 - \dfrac{1}{2} \right)
= \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sigma}{4\varepsilon_0}

Passo 6: Comparação com campo total

\dfrac{E(R = D\sqrt{3})}{E_{\infty}} = \dfrac{\dfrac{\sigma}{4\varepsilon_0}}{\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}} = \dfrac{1}{2}

Ou seja:
E(R = D\sqrt{3}) = \dfrac{E_{\infty}}{2}

Resposta Final:
A região do plano cujos pontos estão a uma distância \leq 2D de P (isto é, com raio \leq D\sqrt{3} no plano) contribui com exatamente metade do campo total E no ponto P .

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