Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Na experiência de Millikan, uma gota de óleo microscópica, de 2 \mu m de raio, é introduzida entre as placas de um capacitor plano, cujo espaçamento é de 5 \ cm. A densidade do óleo é de 0,78 \ g/cm^3. Com as placas inicialmente descarregadas, observa-se que a gota cai, atingindo, devido à resistência do ar, uma velocidade terminal constante v. Quando se aplica entre as placas uma diferença de potencial de 40 \ kV, com o campo elétrico orientado para cima, verifica-se que a velocidade de queda duplica. Qual é o sinal e o valor da carga, em unidades da carga do elétron?

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RESOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1: Compreensão do Cenário e Forças Envolvidas.
A velocidade terminal é atingida quando a força resultante sobre a gota é nula. A força de resistência do ar (força de Stokes) é proporcional à velocidade, \vec{F}_r = -k\vec{v}, onde k é uma constante de proporcionalidade que depende do raio da gota e da viscosidade do ar.

• Caso 1: Capacitor descarregado (sem campo elétrico).
  As forças atuando são: peso (mg, para baixo) e resistência do ar (kv, para cima, oposta ao movimento). Na velocidade terminal v:

kv = mg \quad \Rightarrow \quad k = \dfrac{mg}{v} \quad \text{(Equação 1)}

Caso 2: Capacitor carregado (campo elétrico para cima).
A diferença de potencial cria um campo elétrico uniforme \vec{E} para cima. Se a gota tem carga q, surge uma força elétrica qE. O peso continua atuando para baixo.
A nova velocidade terminal é 2v. A resistência do ar é agora k(2v). Atenção: o sentido do movimento e, portanto, o sentido da força de resistência, precisa ser analisado. Como a velocidade duplica, a gota ainda está caindo (movimento para baixo). A força de resistência continua para cima.
Assim, para o equilíbrio na nova velocidade terminal:

k(2v) + qE = mg \quad \text{(forças para cima = forças para baixo)} \quad \text{(Equação 2)}

Passo 2: Determinação da Carga q.
Substituímos a expressão para k da Equação 1 na Equação 2:

\left(\dfrac{mg}{v}\right)(2v) + qE = mg

2mg + qE = mg

qE = mg - 2mg = -mg

Portanto:

qE = -mg \quad \Rightarrow \quad q = -\dfrac{mg}{E} \quad \text{(Equação 3)}

O sinal negativo indica que a força elétrica qE tem sentido oposto ao campo \vec{E}. Como o campo é para cima, a força elétrica é para baixo. Isso explica por que a velocidade de queda aumenta: o campo tenta puxar a gota para cima, mas como a carga é negativa, a força resultante é para baixo, somando-se ao peso.

Passo 3: Cálculo da Massa m e do Campo E.

• Massa da Gota: m = \rho V
  
  Raio: r = 2 \ \mu m = 2 \times 10^{-6} \ m
  
  Volume (esfera): V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{4}{3}\pi (2 \times 10^{-6})^3 = \dfrac{4}{3}\pi (8 \times 10^{-18}) = \dfrac{32\pi}{3} \times 10^{-18} \ m^3
  
  Densidade: \rho = 0,78 \ g/cm^3 = 0,78 \times 10^3 \ kg/m^3 = 780 \ kg/m^3
  

m = 780 \times \dfrac{32\pi}{3} \times 10^{-18} \approx 780 \times 33.51 \times 10^{-18} \approx 2.614 \times 10^{-14} \ kg

(Usando \pi \approx 3.1416: V \approx 3.351 \times 10^{-17} \ m^3, m \approx 2.614 \times 10^{-14} \ kg)

Campo Elétrico: E = \frac{V}{d}
Diferença de potencial: V = 40 \ kV = 4.0 \times 10^{4} \ V
Distância entre placas: d = 5 \ cm = 0.05 \ m

E = \dfrac{4.0 \times 10^{4}}{0.05} = 8.0 \times 10^{5} \ V/m

Passo 4: Cálculo do Valor Numérico da Carga q.
Substituímos na Equação 3 (g \approx 9.8 \ m/s^2):

|q| = \dfrac{mg}{E} = \dfrac{(2.614 \times 10^{-14})(9.8)}{8.0 \times 10^{5}}

|q| = \dfrac{2.562 \times 10^{-13}}{8.0 \times 10^{5}} = 3.2025 \times 10^{-19} \ C

Passo 5: Determinação do Sinal e da Carga em Unidades de e.

• Sinal: Como já deduzimos, q = -\dfrac{mg}{E}. Portanto, a carga é negativa.
• Valor em unidades da carga do elétron: A carga elementar é e \approx 1.602 \times 10^{-19} \ C.

n = \dfrac{|q|}{e} = \dfrac{3.2025 \times 10^{-19}}{1.602 \times 10^{-19}} \approx 1.999 \approx 2

Isso indica que a gota possui um excesso de 2 elétrons.

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RESUMO FINAL

A análise das condições de equilíbrio nas duas situações de velocidade terminal leva à expressão q = -\dfrac{mg}{E}.

• Sinal da carga: Negativo (a força elétrica atua para baixo quando o campo é para cima).
• Valor da carga: |q| \approx 3.20 \times 10^{-19} \ C.
• Em unidades da carga do elétron: |q| \approx 2e.

Portanto, a gota de óleo possui uma carga de aproximadamente -2e.