Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Cargas q, 2q e 3q são colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado a (fig.). Uma carga Q de mesmo sinal que as outras três é colocada no centro do triângulo. Obtenha a força resultante sobre Q (em módulo, direção e sentido).

Passo 1: Configuração e distâncias

Num triângulo equilátero de lado a, o centro geométrico (baricentro) está a uma distância igual de todos os vértices. Essa distância é:

Passo 2: Forças individuais sobre Q

Todas as forças são repulsivas (mesmo sinal). Colocamos o sistema de coordenadas com origem no centro do triângulo, e posicionamos as cargas:

• Carga q no vértice inferior esquerdo (ângulo -60^\circ do eixo +x)
• Carga 2q no vértice inferior direito (ângulo 60^\circ do eixo +x)
• Carga 3q no vértice superior (no eixo +y)

Na verdade, para simetria de contas, é melhor posicionar o triângulo com um vértice no eixo +y e os outros simétricos em relação ao eixo y. Vamos adotar:

1. Vértice 1 (carga q): ângulo -30^\circ em relação ao eixo +x (ou 150^\circ do +x se preferir)
2. Vértice 2 (carga 2q): ângulo 30^\circ em relação ao eixo +x
3. Vértice 3 (carga 3q): sobre o eixo -y (ângulo -90^\circ)

Passo 3: Cálculo das componentes

Lei de Coulomb: F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q q_i}{d^2}

Carga 1 (q no ângulo -30^\circ):
F_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{d^2}
Componentes:

F_{1y} = F_1 \sin(-30^\circ) = -F_1 \frac{1}{2}

Carga 2 (2q no ângulo 30^\circ):
F_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2Qq}{d^2}
Componentes:
F_{2x} = F_2 \cos(30^\circ) = F_2 \frac{\sqrt{3}}{2}
F_{2y} = F_2 \sin(30^\circ) = F_2 \frac{1}{2}

Carga 3 (3q no ângulo -90^\circ):
F_3 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{3Qq}{d^2}
Componentes:
F_{3x} = 0
F_{3y} = F_3 \sin(-90^\circ) = -F_3

Passo 4: Somar componentes

Substituindo d^2 = \frac{a^2}{3} e fator comum k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{d^2} = \frac{3}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{a^2}:

Componente x:

Componente y:
F_y = k\left[ -\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} - 3 \right] = k\left[ -\frac{1}{2} + 1 - 3 \right] = k\left[ -\frac{5}{2} \right]

Passo 5: Substituir k

F_y = \frac{3}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{a^2} \cdot \left( -\frac{5}{2} \right) = -\frac{15}{8\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{a^2}

Passo 6: Módulo, direção e sentido

Módulo:
F_R = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \frac{Qq}{8\pi\varepsilon_0 a^2} \sqrt{(9\sqrt{3})^2 + (-15)^2}
= \frac{Qq}{8\pi\varepsilon_0 a^2} \sqrt{243 + 225} = \frac{Qq}{8\pi\varepsilon_0 a^2} \sqrt{468}
\sqrt{468} = 6\sqrt{13}

Direção e sentido:
Ângulo em relação ao eixo +x:
\theta = \arctan\left( \frac{F_y}{F_x} \right) = \arctan\left( \frac{-15}{9\sqrt{3}} \right) = \arctan\left( -\frac{5}{3\sqrt{3}} \right)
\theta \approx \arctan(-0,96225) \approx -43,85^\circ

Ou seja, a força aponta para baixo e para a direita, formando um ângulo de cerca de 43,85^\circ abaixo do eixo +x.

Resposta final:

• Módulo:
• Direção: Forma um ângulo com o eixo +x
• Sentido: Para baixo e para a direita (no quadrante IV)