Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Um fio retilíneo de comprimento l está uniformemente carregado com densidade linear de carga \lambda .
(a) Calcule o campo elétrico num ponto situado sobre o prolongamento do fio, a uma distância d de sua extremidade.
(b) Calcule a magnitude do campo, se l = d = 5 \ \text{cm} e a carga total do fio é de 3 \ \mu\text{C} .

(a) Campo elétrico no prolongamento do fio

Configuração:

• Fio ao longo do eixo x , de x = 0 a x = l .
• Ponto P no eixo x , em x = l + d (prolongamento além da extremidade).
• Densidade linear: \lambda = \dfrac{Q}{l} .

Elemento de carga:
dq = \lambda , dx , localizado em x .

Distância do elemento a P :
r = (l + d) - x .

Campo elementar (apenas componente x ):
dE = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{dq}{r^2} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{\lambda , dx}{[(l + d) - x]^2}

Integração:
E = \int_{x=0}^{l} \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{dx}{[(l + d) - x]^2}

Substituição: u = (l + d) - x , du = -dx , limites:
x = 0 \Rightarrow u = l + d
x = l \Rightarrow u = d

E = \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0} \int_{u = l+d}^{d} \dfrac{-du}{u^2} = \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0} \int_{d}^{l+d} \dfrac{du}{u^2}

E = \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0} \left[ -\dfrac{1}{u} \right]_{d}^{l+d} = \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{l+d} \right)

E = \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{l}{d(l + d)}

Vetorialmente:
\vec{E} = \pm \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{l}{d(l + d)} , \hat{x}
(+) se \lambda > 0 (campo afasta), (–) se \lambda < 0 (campo aproxima).

(b) Cálculo numérico

Dados:
l = d = 5 \ \text{cm} = 0,05 \ \text{m}
Q = 3 \ \mu\text{C} = 3 \times 10^{-6} \ \text{C}
\lambda = \dfrac{Q}{l} = \dfrac{3 \times 10^{-6}}{0,05} = 6 \times 10^{-5} \ \text{C/m}
\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ \text{Nm}^2/\text{C}^2

Substituindo:
E = 9 \times 10^9 \cdot 6 \times 10^{-5} \cdot \frac{0,05}{0,05 \cdot (0,05 + 0,05)}
E = 9 \times 10^9 \cdot 6 \times 10^{-5} \cdot \frac{0,05}{0,05 \cdot 0,10}
E = 9 \times 10^9 \cdot 6 \times 10^{-5} \cdot \frac{1}{0,10}
E = 9 \times 10^9 \cdot 6 \times 10^{-5} \cdot 10
E = 9 \times 10^9 \cdot 6 \times 10^{-4} = 5,4 \times 10^6 \ \text{N/C}

Respostas Finais:
(a)  \vec{E} = \pm \dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{l}{d(l + d)} , \hat{x}

(b)  E \approx 5,4 \times 10^6 \ \text{N/C}