Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Uma casca esférica de raio interno b e raio externo c, uniformemente carregada com densidade de carga volumétrica ( \rho ), envolve uma esfera concêntrica de raio a, também carregada uniformemente com a mesma densidade (fig.).

Calcule o campo elétrico nas quatro regiões diferentes do espaço:

1. ( 0 \leq r \leq a )
2. ( a \leq r \leq b )
3. ( b \leq r \leq c )
4. ( c \leq r )

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Resolução Passo a Passo:

O problema possui simetria esférica. Portanto, o campo elétrico será radial e seu módulo dependerá apenas da distância r ao centro. O método direto para resolvê-lo é a Lei de Gauss:
\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}
Para uma superfície gaussiana esférica de raio r, esta lei se simplifica para:
E(r) \cdot (4\pi r^2) = \dfrac{Q_{int}(r)}{\epsilon_0}
onde Q_{int}(r) é a carga total contida dentro da esfera de raio r.

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Campo para a região ( 0 \leq r \leq a )

A superfície gaussiana é uma esfera de raio r dentro da esfera maciça central.

Carga interna à gaussiana:
A carga contida é uma fração do volume da esfera central.

Q_{int}(r) = \rho \cdot V = \rho \cdot \left( \dfrac{4}{3} \pi r^3 \right)

Aplicação da Lei de Gauss:
E(r) \cdot (4\pi r^2) = \dfrac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3}{\epsilon_0}

E(r) = \dfrac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3}{\epsilon_0 \cdot 4\pi r^2}

Expressão final do campo:

\vec{E}(r) = \dfrac{\rho r}{3 \epsilon_0} \ \hat{r}

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Campo para a região (a \leq r \leq b)

A superfície gaussiana está na cavidade da casca, envolvendo toda a esfera central mas nenhuma parte da casca.

Carga interna à gaussiana:
A carga interna é apenas a carga total da esfera central de raio a.

Q_{int} = \rho \cdot V_{esfera} = \rho \cdot \left( \dfrac{4}{3} \pi a^3 \right)

Aplicação da Lei de Gauss:
E(r) \cdot (4\pi r^2) = \dfrac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi a^3}{\epsilon_0}

E(r) = \dfrac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi a^3}{\epsilon_0 \cdot 4\pi r^2}

Expressão final do campo:

\vec{E}(r) = \dfrac{\rho a^3}{3 \epsilon_0 \ r^2} \ \hat{r}

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Campo para a região (b \leq r \leq c)

A superfície gaussiana agora está dentro do material da casca, envolvendo a esfera central e parte da casca.

Carga interna à gaussiana:
É a soma da carga da esfera central mais a carga da parte da casca entre b e r.

• Carga da esfera: Q_1 = \rho \cdot \dfrac{4}{3} \pi a^3
• Carga da parte da casca: Q_2 = \rho \cdot \left( \dfrac{4}{3} \pi r^3 - \dfrac{4}{3} \pi b^3 \right)

Q_{int}(r) = Q_1 + Q_2 = \dfrac{4}{3} \pi \rho \ (a^3 + r^3 - b^3)

Aplicação da Lei de Gauss:
E(r) \cdot (4\pi r^2) = \dfrac{\frac{4}{3} \pi \rho \ (a^3 + r^3 - b^3)}{\epsilon_0}

E(r) = \dfrac{\frac{4}{3} \pi \rho \ (a^3 + r^3 - b^3)}{\epsilon_0 \cdot 4\pi r^2}

Expressão final do campo:

\vec{E}(r) = \dfrac{\rho \ (a^3 + r^3 - b^3)}{3 \epsilon_0 \ r^2} \ \hat{r}

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Campo para a região (c \leq r )

A superfície gaussiana está fora de todo o sistema, envolvendo a esfera central e a casca completa.

Carga interna à gaussiana:
É a carga total do sistema.

• Carga da esfera: Q_1 = \rho \cdot \dfrac{4}{3} \pi a^3
• Carga da casca completa: Q_2 = \rho \cdot \left( \dfrac{4}{3} \pi c^3 - \dfrac{4}{3} \pi b^3 \right)

Q_{total} = Q_1 + Q_2 = \dfrac{4}{3} \pi \rho \ (a^3 + c^3 - b^3)

Aplicação da Lei de Gauss:
E(r) \cdot (4\pi r^2) = \dfrac{\frac{4}{3} \pi \rho \ (a^3 + c^3 - b^3)}{\epsilon_0}

E(r) = \dfrac{\frac{4}{3} \pi \rho \ (a^3 + c^3 - b^3)}{\epsilon_0 \cdot 4\pi r^2}

Expressão final do campo:

\vec{E}(r) = \dfrac{\rho \ (a^3 + c^3 - b^3)}{3 \epsilon_0 \ r^2} \ \hat{r}

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Resumo das Respostas Finais:

1. \vec{E}(r) = \dfrac{\rho r}{3 \epsilon_0} \ \hat{r} \quad \text{para} \quad 0 \leq r \leq a
2. \vec{E}(r) = \dfrac{\rho a^3}{3 \epsilon_0 \ r^2} \ \hat{r} \quad \text{para} \quad a \leq r \leq b
3. \vec{E}(r) = \dfrac{\rho \ (a^3 + r^3 - b^3)}{3 \epsilon_0 \ r^2} \ \hat{r} \quad \text{para} \quad b \leq r \leq c
4. \vec{E}(r) = \dfrac{\rho \ (a^3 + c^3 - b^3)}{3 \epsilon_0 \ r^2} \ \hat{r} \quad \text{para} \quad c \leq r