Problema 5 - Capítulo 3 - Física - Moysés - Vol 3

Dois fios retilíneos de mesmo comprimento $a$ , separados por uma distância $b$ , estão uniformemente carregados com densidades lineares de carga $\lambda$ e $-\lambda$ . Calcule o campo elétrico no centro $P$ do retângulo de lados $a$ e $b$ .

Passo 1: Configuração do sistema e identificação da simetria
Posicionamos o ponto $P$ na origem. O fio superior, com densidade linear $+\lambda$ , está localizado em $y = b/2$ , e o fio inferior, com densidade $-\lambda$ , em $y = -b/2$ . Ambos são paralelos ao eixo $x$ e se estendem de $x = -a/2$ a $x = a/2$ .

Devido à simetria da configuração, as componentes horizontais ( $x$ ) do campo elétrico produzidas por elementos simétricos dos fios se cancelam. Assim, o campo resultante em $P$ terá apenas componente vertical, na direção $+\hat{y}$ .

Passo 2: Cálculo do campo de um elemento infinitesimal
Considere um elemento de carga $dq = \lambda , dx$ no fio superior, localizado na posição $(x, b/2)$ . A distância desse elemento até o ponto $P$ é:

d = \sqrt{x^2 + \left( \dfrac{b}{2} \right)^2 }

O campo elétrico $d\vec{E}$ gerado por esse elemento em $P$ tem módulo:

dE = k \dfrac{dq}{d^2} = k \dfrac{\lambda , dx}{x^2 + \left( \dfrac{b}{2} \right)^2 }

Passo 3: Componente vertical do campo
Apenas a componente vertical ( $dE_y$ ) contribui para o campo total. O ângulo $\theta$ entre $d\vec{E}$ e o eixo vertical satisfaz:

$\cos\theta = \dfrac{b/2}{\sqrt{x^2 + \left( \dfrac{b}{2} \right)^2}}$

Portanto, a componente vertical é:

$dE_y = dE \cos\theta = k \dfrac{\lambda , dx}{x^2 + \left( \dfrac{b}{2} \right)^2 } \cdot \dfrac{b/2}{\sqrt{x^2 + \left( \dfrac{b}{2} \right)^2}} = \dfrac{k \lambda b}{2} \dfrac{dx}{\left[ x^2 + \left( \dfrac{b}{2} \right)^2 \right]^{3/2} }$

Passo 4: Integração ao longo do fio superior
Para obter o campo total do fio superior, integramos $dE_y$ ao longo do comprimento do fio, de $x = -a/2$ a $x = a/2$ :

E_y^{\text{(superior)}} = \dfrac{k \lambda b}{2} \displaystyle\int_{-a/2}^{a/2} \dfrac{dx}{\left[ x^2 + \left( \dfrac{b}{2} \right)^2 \right]^{3/2} }

Passo 5: Resolução da integral
Esta integral é tabelada. Usando a fórmula:

$\displaystyle\int \dfrac{du}{(u^2 + A^2)^{3/2}} = \dfrac{u}{A^2\sqrt{u^2 + A^2}}$

com $u = x$ e $A = b/2$ , e avaliando nos limites, obtemos:

$\displaystyle\int_{-a/2}^{a/2} \dfrac{dx}{\left[ x^2 + \left( \dfrac{b}{2} \right)^2 \right]^{3/2} } = \dfrac{8a}{b^2\sqrt{a^2 + b^2}}$

Substituindo na expressão de $E_y^{\text{(superior)}}$ :

$E_y^{\text{(superior)}} = \dfrac{k \lambda b}{2} \cdot \dfrac{8a}{b^2\sqrt{a^2 + b^2}} = \dfrac{4k \lambda a}{b\sqrt{a^2 + b^2}}$

Passo 6: Introdução da constante eletrostática
Lembrando que $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ , temos:

$E_y^{\text{(superior)}} = \dfrac{\lambda a}{\pi\varepsilon_0 b\sqrt{a^2 + b^2}}$

Passo 7: Contribuição do fio inferior
Para o fio inferior (densidade $-\lambda$ ), a magnitude do campo é a mesma, e a direção também é vertical para cima, pois uma carga negativa atrai uma carga de teste positiva. Logo:

$E_y^{\text{(inferior)}} = \dfrac{\lambda a}{\pi\varepsilon_0 b\sqrt{a^2 + b^2}}$

Passo 8: Campo total no ponto $P$
Somando as contribuições dos dois fios:

$\vec{E}_{\text{Total}} = \left( E_y^{\text{(superior)}} + E_y^{\text{(inferior)}} \right) \hat{y} = \dfrac{2\lambda a}{\pi\varepsilon_0 b\sqrt{a^2 + b^2}} ,\hat{y}$

Resposta final:

$\vec{E}_{\text{Total}} = \dfrac{2\lambda}{\pi\varepsilon_0 b} \left( \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right) \hat{y}$

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