Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Um balão de borracha de raio R está carregado com carga Q, distribuída uniformemente sobre sua superfície.

(a) Determine a energia eletrostática total contida no campo.

(b) Calculando a variação dessa energia para uma variação infinitesimal dR do raio, demonstre que a força eletrostática radial por unidade de área, na superfície do balão, é igual à densidade de energia eletrostática na superfície.

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RESOLUÇÃO PASSO A PASSO

(a) Energia Eletrostática Total

Passo 1: Identificação do Sistema e Método de Cálculo.
Temos uma carga Q uniformemente distribuída sobre uma superfície esférica (casca) de raio R. A densidade superficial de carga é constante:

\sigma = \dfrac{Q}{4\pi R^2}

Para calcular a energia eletrostática total U armazenada no campo, podemos usar a fórmula baseada no potencial. Para uma distribuição superficial de carga, a energia é dada por:

U = \dfrac{1}{2} \int_{S} \sigma V \, dA

onde a integral é feita sobre toda a superfície carregada S, e V é o potencial elétrico na posição do elemento de carga \sigma dA.

Passo 2: Cálculo do Potencial na Superfície.
Para uma casca esférica uniformemente carregada, o potencial em qualquer ponto sobre a própria casca é constante e igual ao potencial de uma carga pontual Q no centro, avaliado na distância R:

V(R) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{Q}{R}

Este resultado é válido porque, para uma casca esférica, o potencial no interior (incluindo a superfície) é constante e igual ao potencial na superfície.

Passo 3: Substituição na Fórmula da Energia.
Como tanto \sigma quanto V(R) são constantes sobre a superfície, eles saem da integral:

U = \dfrac{1}{2} \sigma V(R) \int_{S} dA = \dfrac{1}{2} \sigma V(R) \cdot (4\pi R^2)

Substituindo as expressões para \sigma e V(R):

U = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{Q}{4\pi R^2} \right) \left( \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{Q}{R} \right) \cdot (4\pi R^2)

Passo 4: Simplificação da Expressão.
Observamos que 4\pi R^2 no numerador e denominador se cancelam:

U = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{Q}{4\pi R^2} \cdot \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 R} \cdot 4\pi R^2 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{Q^2}{4\pi\epsilon_0 R}

Portanto, a energia eletrostática total é:

\boxed{U = \dfrac{Q^2}{8\pi\epsilon_0 R}}

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(b) Relação entre Força por Unidade de Área e Densidade de Energia

Passo 1: Interpretação Física da Variação da Energia.
A energia U é função do raio: U(R) = \dfrac{Q^2}{8\pi\epsilon_0 R}. Se o raio do balão sofrer uma expansão infinitesimal dR, a energia armazenada no campo varia em dU.

O trabalho realizado pelo campo elétrico (ou a energia liberada pelo campo) durante essa expansão é -dU. Este trabalho é realizado contra as forças eletrostáticas de repulsão que tendem a expandir o balão. Se considerarmos uma força radial efetiva F_{\text{rad}} atuando sobre a superfície, o trabalho realizado pela superfície (contra a força do campo) para expandir o balão é dW = F_{\text{rad}} \, dR.

Pelo princípio do trabalho-energia, temos:

dW = -dU \quad \Rightarrow \quad F_{\text{rad}} \, dR = -dU

Assim, a força radial total de expansão é:

F_{\text{rad}} = -\dfrac{dU}{dR}

Passo 2: Cálculo da Força Radial Total.
Derivamos a expressão de U(R) em relação a R:

\dfrac{dU}{dR} = \dfrac{d}{dR} \left( \dfrac{Q^2}{8\pi\epsilon_0 R} \right) = -\dfrac{Q^2}{8\pi\epsilon_0 R^2}

Portanto, a força radial total é:

F_{\text{rad}} = -\left( -\dfrac{Q^2}{8\pi\epsilon_0 R^2} \right) = \dfrac{Q^2}{8\pi\epsilon_0 R^2}

Note que essa força é positiva, indicando repulsão (expansão).

Passo 3: Cálculo da Força por Unidade de Área (Pressão Eletrostática).
A área da superfície esférica é A = 4\pi R^2. A força radial por unidade de área, ou pressão eletrostática P_{\text{elec}}, é:

P_{\text{elec}} = \dfrac{F_{\text{rad}}}{A} = \dfrac{\dfrac{Q^2}{8\pi\epsilon_0 R^2}}{4\pi R^2} = \dfrac{Q^2}{32\pi^2\epsilon_0 R^4}

Passo 4: Cálculo da Densidade de Energia na Superfície.
A densidade de energia eletrostática u é dada, em geral, por:

u = \dfrac{1}{2} \epsilon_0 E^2

Precisamos calcular o campo elétrico imediatamente fora da superfície do condutor. Para uma casca esférica uniformemente carregada, o campo elétrico logo acima da superfície (r \to R^+) é o campo de uma carga pontual:

E(R) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{Q}{R^2}

Portanto, a densidade de energia na superfície (do lado de fora) é:

u(R) = \dfrac{1}{2} \epsilon_0 \left( \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{Q}{R^2} \right)^2 = \dfrac{1}{2} \epsilon_0 \cdot \dfrac{Q^2}{16\pi^2\epsilon_0^2 R^4} = \dfrac{Q^2}{32\pi^2\epsilon_0 R^4}

Passo 5: Comparação e Conclusão.
Comparando os resultados dos Passos 3 e 4, vemos que são idênticos:

P_{\text{elec}} = \dfrac{Q^2}{32\pi^2\epsilon_0 R^4} \quad \text{e} \quad u(R) = \dfrac{Q^2}{32\pi^2\epsilon_0 R^4}

Portanto, demonstramos que:

\boxed{\dfrac{F_{\text{rad}}}{A} = u(R)}

Isto é, a força eletrostática radial por unidade de área (pressão) na superfície do balão é numericamente igual à densidade de energia eletrostática avaliada na superfície.

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RESUMO FINAL

(a) A energia eletrostática total armazenada no campo de uma casca esférica de raio R com carga Q uniformemente distribuída é:

U = \dfrac{Q^2}{8\pi\epsilon_0 R}

(b) A partir da relação F_{\text{rad}} = -dU/dR, mostrou-se que a força radial por unidade de área (pressão eletrostática) na superfície é:

\dfrac{F_{\text{rad}}}{A} = \dfrac{Q^2}{32\pi^2\epsilon_0 R^4}

Esta expressão é idêntica à densidade de energia eletrostática u(R) = \frac{1}{2}\epsilon_0 E(R)^2 calculada na superfície, demonstrando a igualdade proposta.