Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Um fio retilíneo muito longo (trate-o como infinito) está eletrizado com uma densidade linear de carga \lambda. Calcule a força com que atua sobre uma carga puntiforme q colocada à distância \rho do fio.
Sugestão: tome a origem em O (fig.) e o fio como eixo z. Exprima a contribuição de um elemento dz do fio à distância z da origem em função do ângulo \theta da figura. Use argumentos de simetria.

Passo 1: Configuração

• Fio infinito ao longo do eixo z.
• Carga q no ponto (\rho, 0, 0).
• Elemento dz do fio tem carga dq = \lambda dz.

Passo 2: Vetor posição e distância

Elemento em (0, 0, z).
Vetor de dq para q:
\vec{r} = \rho \hat{x} - z \hat{z}
Módulo: r = \sqrt{\rho^2 + z^2}

Passo 3: Força infinitesimal

d\vec{F} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q , dq}{r^2} , \hat{r}
dq = \lambda dz

Então:

d\vec{F} = \frac{q \lambda \rho}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dz}{(\rho^2 + z^2)^{3/2}} \hat{x} - \frac{q \lambda}{4\pi\varepsilon_0} \frac{z , dz}{(\rho^2 + z^2)^{3/2}} \hat{z}

Passo 4: Simetria

Por simetria, para cada elemento em +z existe outro em -z cuja componente z é igual em magnitude mas oposta em sinal. Logo:
F_z = 0

Só sobra componente x:
dF_x = \frac{q \lambda \rho}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dz}{(\rho^2 + z^2)^{3/2}}

Passo 5: Integração no fio infinito

F_x = \frac{q \lambda \rho}{4\pi\varepsilon_0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dz}{(\rho^2 + z^2)^{3/2}}

Integral: use z = \rho \tan u \implies dz = \rho \sec^2 u , du
\rho^2 + z^2 = \rho^2(1 + \tan^2 u) = \rho^2 \sec^2 u
(\rho^2 + z^2)^{3/2} = \rho^3 \sec^3 u

\int \frac{dz}{(\rho^2 + z^2)^{3/2}} = \int \frac{\rho \sec^2 u , du}{\rho^3 \sec^3 u} = \frac{1}{\rho^2} \int \cos u , du = \frac{\sin u}{\rho^2} + C

Voltando:

Avaliando de -\infty a \infty:


Diferença: 1 - (-1) = 2

Então:
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dz}{(\rho^2 + z^2)^{3/2}} = \frac{2}{\rho^2}

Passo 6: Força resultante

F_x = \frac{q \lambda \rho}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{2}{\rho^2} = \frac{q \lambda}{2\pi\varepsilon_0 \rho}

Vetorialmente:
\vec{F} = \frac{q \lambda}{2\pi\varepsilon_0 \rho} , \hat{x}
(onde \hat{x} é direção radialmente afastando-se do fio se q\lambda > 0, ou aproximando-se se q\lambda < 0)

Resposta Final:
A força sobre a carga q é radial ao fio, com módulo:

F = \dfrac{|q| |\lambda|}{2\pi\varepsilon_0 \rho}

O sentido é de repulsão se q e \lambda têm mesmo sinal, e atração se têm sinais opostos.