Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

No modelo clássico de J. J. Thomson para o átomo de hidrogênio, a carga +e do núcleo era imaginada como estando uniformemente distribuída no interior de uma esfera de raio a (raio atômico, \approx 10^{-8} cm) e o elétron era tratado como uma carga puntiforme -e movendo-se no interior desta distribuição.
(a) Calcule o campo elétrico que atuaria sobre o elétron num ponto à distância r < a do centro da esfera.
(b) Mostre que o elétron poderia mover-se radialmente com um movimento harmônico simples.
(c) Calcule a frequência de oscilação e compare-a com uma frequência típica da luz visível.

Passo 1: Simetria e Lei de Gauss
Temos uma esfera de raio a com carga total +e uniformemente distribuída. Para um ponto interior r < a, usamos uma superfície gaussiana esférica de raio r. Pela Lei de Gauss:

\phi = E \cdot A = \dfrac{q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}

onde A = 4\pi r^2 é a área da gaussiana.

Passo 2: Carga interna q_{\text{int}}
A densidade volumétrica de carga é constante:

\rho = \dfrac{e}{\frac{4}{3}\pi a^3}

A carga contida dentro da esfera de raio r é:

q_{\text{int}} = \rho \cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3 = e \cdot \dfrac{r^3}{a^3}

Passo 3: Campo elétrico em r < a
Substituindo na Lei de Gauss:

E \cdot 4\pi r^2 = \dfrac{e \cdot \frac{r^3}{a^3}}{\varepsilon_0} E = \dfrac{e r}{4\pi\varepsilon_0 a^3}

Em termos da densidade \rho:

E = \dfrac{\rho r}{3\varepsilon_0}

Passo 4: Força sobre o elétron e equação do movimento
O elétron tem carga q = -e. A força elétrica sobre ele é:

F = qE = -e \cdot \dfrac{\rho r}{3\varepsilon_0}

Pela segunda lei de Newton (F = m_e \frac{d^2r}{dt^2}):

m_e \dfrac{d^2r}{dt^2} = -\dfrac{e\rho}{3\varepsilon_0} r \dfrac{d^2r}{dt^2} + \dfrac{e\rho}{3\varepsilon_0 m_e} r = 0

Passo 5: Identificação do movimento harmônico simples
A equação tem a forma:

\dfrac{d^2r}{dt^2} + \omega^2 r = 0

onde:

\omega^2 = \dfrac{e\rho}{3\varepsilon_0 m_e}

Isso é a equação de um MHS com frequência angular \omega.

Passo 6: Frequência de oscilação
Substituindo \rho = \dfrac{e}{\frac{4}{3}\pi a^3}:

\omega^2 = \dfrac{e}{3\varepsilon_0 m_e} \cdot \dfrac{e}{\frac{4}{3}\pi a^3} = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e a^3} \omega = \sqrt{ \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e a^3} }

A frequência linear é:

f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{1}{2\pi} \sqrt{ \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e a^3} }

Passo 7: Comparação numérica
Com a \approx 10^{-10} m, m_e \approx 9.11\times10^{-31} kg, e \approx 1.60\times10^{-19} C, \varepsilon_0 \approx 8.85\times10^{-12} F/m:

f \approx 2.5\times10^{15} \ \text{Hz}

A luz visível tem frequências na faixa 4\times10^{14} a 8\times10^{14} Hz. Portanto, a frequência calculada é cerca de 3 a 6 vezes maior, mas da mesma ordem de magnitude.

Resposta final:

(a) E = \dfrac{\rho r}{3\varepsilon_0} = \dfrac{e r}{4\pi\varepsilon_0 a^3}

(b) A equação do movimento é \dfrac{d^2r}{dt^2} + \omega^2 r = 0 com \omega^2 = \dfrac{e\rho}{3\varepsilon_0 m_e} , caracterizando MHS.

(c) f = \dfrac{1}{2\pi} \sqrt{ \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e a^3} } \approx 2.5\times10^{15} \ \text{Hz} , cerca de 3 a 6 vezes maior que a frequência da luz visível, mas da mesma ordem.