Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Demonstre as identidades (4.5.24) a (4.5.26):

\text{div}(f \vec{v}) = f \, \text{div} \, \vec{v} + \vec{v} \cdot \text{grad} \, f (4.5.24)

\text{rot}(f \vec{v}) = f \, \text{rot} \, \vec{v} + \text{grad} \, f \times \vec{v} (4.5.25)

\text{div}(\vec{u} \times \vec{v}) = \vec{v} \cdot \text{rot} \, \vec{u} - \vec{u} \cdot \text{rot} \, \vec{v} (4.5.26)

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RESOLUÇÃO PASSO A PASSO

Vamos demonstrar cada identidade utilizando a definição de componentes dos operadores diferenciais. Assumimos que f = f(x, y, z) é um campo escalar diferenciável e \vec{v} = (v_x, v_y, v_z) e \vec{u} = (u_x, u_y, u_z) são campos vetoriais diferenciáveis.

Demonstração de (4.5.24): \text{div}(f \vec{v}) = f \, \text{div} \, \vec{v} + \vec{v} \cdot \text{grad} \, f

Passo 1: Escrevemos o campo vetorial f \vec{v} em componentes.

f\vec{v} = (f v_x, f v_y, f v_z)

Passo 2: Aplicamos a definição do operador divergente.

\text{div}(f \vec{v}) = \frac{\partial}{\partial x}(f v_x) + \frac{\partial}{\partial y}(f v_y) + \frac{\partial}{\partial z}(f v_z)

Passo 3: Aplicamos a regra do produto da derivada a cada termo.

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x}(f v_x) &= v_x \frac{\partial f}{\partial x} + f \frac{\partial v_x}{\partial x} \ \frac{\partial}{\partial y}(f v_y) &= v_y \frac{\partial f}{\partial y} + f \frac{\partial v_y}{\partial y} \ \frac{\partial}{\partial z}(f v_z) &= v_z \frac{\partial f}{\partial z} + f \frac{\partial v_z}{\partial z} \end{aligned}

Passo 4: Somamos os resultados do Passo 3.

\begin{aligned} \text{div}(f \vec{v}) &= \left(v_x \frac{\partial f}{\partial x} + v_y \frac{\partial f}{\partial y} + v_z \frac{\partial f}{\partial z}\right) + \left(f \frac{\partial v_x}{\partial x} + f \frac{\partial v_y}{\partial y} + f \frac{\partial v_z}{\partial z}\right) \end{aligned}

Passo 5: Identificamos as definições do gradiente de f e do divergente de \vec{v} na expressão acima.

\vec{v} \cdot \text{grad} f = v_x \frac{\partial f}{\partial x} + v_y \frac{\partial f}{\partial y} + v_z \frac{\partial f}{\partial z} f \, \text{div} \, \vec{v} = f \left( \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} \right)

Passo 6: Substituímos as identificações do Passo 5 na soma do Passo 4, obtendo a identidade desejada.

\boxed{\text{div}(f \vec{v}) = f \, \text{div} \, \vec{v} + \vec{v} \cdot \text{grad} \, f}

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Demonstração de (4.5.25): \text{rot}(f \vec{v}) = f \, \text{rot} \, \vec{v} + \text{grad} \, f \times \vec{v}

Passo 1: Calculamos a componente x do rotacional de f \vec{v}.

[\text{rot}(f \vec{v})]_x = \frac{\partial}{\partial y}(f v_z) - \frac{\partial}{\partial z}(f v_y)

Passo 2: Aplicamos a regra do produto.

[\text{rot}(f \vec{v})]_x = \left( \frac{\partial f}{\partial y} v_z + f \frac{\partial v_z}{\partial y} \right) - \left( \frac{\partial f}{\partial z} v_y + f \frac{\partial v_y}{\partial z} \right)

Passo 3: Reorganizamos os termos, agrupando aqueles que multiplicam f e aqueles que contêm derivadas de f.

[\text{rot}(f \vec{v})]_x = f \left( \frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z} \right) + \left( \frac{\partial f}{\partial y} v_z - \frac{\partial f}{\partial z} v_y \right)

Passo 4: Identificamos as definições na expressão do Passo 3.
O primeiro termo é f multiplicado pela componente x do rotacional de \vec{v}:

f \left( \frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z} \right) = f [\text{rot} \, \vec{v}]_x

O segundo termo é a componente x do produto vetorial (\text{grad} f) \times \vec{v}:

\left( \frac{\partial f}{\partial y} v_z - \frac{\partial f}{\partial z} v_y \right) = [\text{grad} f \times \vec{v}]_x

Passo 5: Repetimos o processo para as componentes y e z.

\begin{aligned} [\text{rot}(f \vec{v})]_y &= \frac{\partial}{\partial z}(f v_x) - \frac{\partial}{\partial x}(f v_z) \ &= f \left( \frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x} \right) + \left( \frac{\partial f}{\partial z} v_x - \frac{\partial f}{\partial x} v_z \right) \ &= f [\text{rot} \, \vec{v}]_y + [\text{grad} f \times \vec{v}]_y \end{aligned} \begin{aligned} [\text{rot}(f \vec{v})]_z &= \frac{\partial}{\partial x}(f v_y) - \frac{\partial}{\partial y}(f v_x) \ &= f \left( \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y} \right) + \left( \frac{\partial f}{\partial x} v_y - \frac{\partial f}{\partial y} v_x \right) \ &= f [\text{rot} \, \vec{v}]_z + [\text{grad} f \times \vec{v}]_z \end{aligned}

Passo 6: Juntando as três componentes, obtemos o resultado vetorial.

\boxed{\text{rot}(f \vec{v}) = f \, \text{rot} \, \vec{v} + \text{grad} \, f \times \vec{v}}

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Demonstração de (4.5.26): \text{div}(\vec{u} \times \vec{v}) = \vec{v} \cdot \text{rot} \, \vec{u} - \vec{u} \cdot \text{rot} \, \vec{v}

Passo 1: Escrevemos o produto vetorial \vec{u} \times \vec{v} em componentes.

\vec{u} \times \vec{v} = (u_y v_z - u_z v_y, \, u_z v_x - u_x v_z, \, u_x v_y - u_y v_x)

Passo 2: Aplicamos o operador divergente.

\text{div}(\vec{u} \times \vec{v}) = \frac{\partial}{\partial x}(u_y v_z - u_z v_y) + \frac{\partial}{\partial y}(u_z v_x - u_x v_z) + \frac{\partial}{\partial z}(u_x v_y - u_y v_x)

Passo 3: Aplicamos a regra do produto em cada uma das três derivadas parciais.

Passo 4: Somamos todas as nove parcelas do Passo 3. Agora, agrupamos os termos que contêm as componentes de \vec{v} e aqueles que contêm as componentes de \vec{u}.

• Termos com v_x, v_y, v_z:

v_x \left( \frac{\partial u_z}{\partial y} - \frac{\partial u_y}{\partial z} \right) + v_y \left( \frac{\partial u_x}{\partial z} - \frac{\partial u_z}{\partial x} \right) + v_z \left( \frac{\partial u_y}{\partial x} - \frac{\partial u_x}{\partial y} \right)

Termos com u_x, u_y, u_z:

u_x \left( \frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z} \right) + u_y \left( \frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x} \right) + u_z \left( \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y} \right)

Note que os termos do segundo grupo têm uma simetria oposta aos do primeiro.

Passo 5: Identificamos as definições do rotacional nas expressões.
O primeiro grupo é precisamente o produto escalar \vec{v} \cdot \text{rot} \, \vec{u}:

\vec{v} \cdot \text{rot} \, \vec{u} = v_x \left( \frac{\partial u_z}{\partial y} - \frac{\partial u_y}{\partial z} \right) + v_y \left( \frac{\partial u_x}{\partial z} - \frac{\partial u_z}{\partial x} \right) + v_z \left( \frac{\partial u_y}{\partial x} - \frac{\partial u_x}{\partial y} \right)

O segundo grupo é o produto escalar \vec{u} \cdot \text{rot} \, \vec{v}:

\vec{u} \cdot \text{rot} \, \vec{v} = u_x \left( \frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z} \right) + u_y \left( \frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x} \right) + u_z \left( \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y} \right)

Passo 6: Substituímos as identificações do Passo 5 na soma total do Passo 4.

\text{div}(\vec{u} \times \vec{v}) = \vec{v} \cdot \text{rot} \, \vec{u} - \vec{u} \cdot \text{rot} \, \vec{v}

Portanto,

\boxed{\text{div}(\vec{u} \times \vec{v}) = \vec{v} \cdot \text{rot} \, \vec{u} - \vec{u} \cdot \text{rot} \, \vec{v}}

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RESUMO FINAL

As três identidades vetoriais foram demonstradas passo a passo, aplicando as definições em componentes dos operadores diferenciais e a regra do produto para derivadas parciais.

Divergente de um campo escalar vezes um campo vetorial:

\text{div}(f \vec{v}) = f \, \text{div} \, \vec{v} + \vec{v} \cdot \text{grad} \, f

Rotacional de um campo escalar vezes um campo vetorial:

\text{rot}(f \vec{v}) = f \, \text{rot} \, \vec{v} + \text{grad} \, f \times \vec{v}

Divergente do produto vetorial de dois campos vetoriais:

\text{div}(\vec{u} \times \vec{v}) = \vec{v} \cdot \text{rot} \, \vec{u} - \vec{u} \cdot \text{rot} \, \vec{v}