Problema 6 - Capítulo 3 - Física - Moysés - Vol 3

Um fio quadrado de lado $2l$ está uniformemente carregado com densidade linear de carga $\lambda$ . Calcule o campo elétrico num ponto $P$ situado sobre a perpendicular ao centro do quadrado, à distância $D$ do seu plano.

Passo 1: Análise da simetria e divisão do problema

Podemos dividir o quadrado em 4 segmentos de comprimento $2l$ . Existe simetria em relação ao eixo $x$ entre os segmentos 1 e 3, e simetria em relação ao eixo $y$ entre os segmentos 2 e 4. Devido a essas simetrias, as componentes horizontais do campo se cancelam, restando apenas a componente vertical $E_z$ .

Passo 2: Análise do campo de um elemento infinitesimal

Tomemos o segmento 1 (lado superior do quadrado, paralelo ao eixo $x$ ). Considere dois elementos simétricos $dq$ e $dq'$ em relação ao centro do lado. Por simetria, as componentes horizontais ( $x$ ) dos campos produzidos por esses elementos se anulam, sobrando apenas componentes nas direções $y$ e $z$ .

Passo 3: Cancelamento das componentes horizontais entre lados opostos

Ao considerar os lados 1 e 3 (opostos), existe simetria em relação ao eixo $x$ que faz com que as componentes em $y$ dos campos gerados por esses dois lados se anulem. O mesmo ocorre para os lados 2 e 4. Resta apenas a componente vertical $z$ para todo o quadrado. Portanto, basta calcular a componente $E_z$ de um lado e multiplicar por 4.

Passo 4: Cálculo do campo de um elemento infinitesimal no lado 1
Para um elemento $dq = \lambda , dx$ no lado 1, localizado em $(x, l, 0)$ , a distância até o ponto $P = (0, 0, D)$ é:

r = \sqrt{x^2 + l^2 + D^2}

O campo elementar tem módulo:

dE = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{\lambda , dx}{D^2 + x^2 + l^2}

Passo 5: Componente vertical do campo
A componente vertical é $dE_z = dE \cos\varphi$ , onde $\varphi$ é o ângulo entre o vetor campo e o eixo $z$ . Do diagrama:

$\cos\varphi = \dfrac{D}{\sqrt{D^2 + x^2 + l^2}}$

Portanto:

$dE_z = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{\lambda D , dx}{(D^2 + x^2 + l^2)^{3/2}}$

Passo 6: Integração ao longo de um lado
O lado se estende de $x = -l$ a $x = l$ . Integrando:

$E_z^{\text{(lado)}} = \dfrac{\lambda D}{4\pi\varepsilon_0} \displaystyle\int_{-l}^{l} \dfrac{dx}{(D^2 + x^2 + l^2)^{3/2}}$

Passo 7: Resolução da integral
Usando a integral tabelada:

$\displaystyle\int \dfrac{du}{(a^2 + u^2)^{3/2}} = \dfrac{u}{a^2\sqrt{a^2 + u^2}}$

com $a^2 = D^2 + l^2$ e $u = x$ , obtemos:

$E_z^{\text{(lado)}} = \dfrac{\lambda D}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \dfrac{x}{(D^2 + l^2)\sqrt{D^2 + l^2 + x^2}} \right]_{-l}^{l}$

$E_z^{\text{(lado)}} = \dfrac{\lambda D}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{2l}{(D^2 + l^2)\sqrt{D^2 + 2l^2}}$

$E_z^{\text{(lado)}} = \dfrac{\lambda D l}{2\pi\varepsilon_0 (D^2 + l^2)\sqrt{D^2 + 2l^2}}$

Passo 8: Campo total dos 4 lados
Multiplicando por 4:

$E_z^{\text{(total)}} = 4 \cdot E_z^{\text{(lado)}} = \dfrac{2\lambda D l}{\pi\varepsilon_0 (D^2 + l^2)\sqrt{D^2 + 2l^2}}$

Passo 9: Expressão final
O campo aponta no sentido positivo de $z$ . Substituindo $l = L/2$ onde $L$ é o lado total do quadrado ( $L = 2l$ ), temos:

$\vec{E}(P) = \dfrac{\lambda D L}{\pi\varepsilon_0 \left(D^2 + \dfrac{L^2}{4}\right) \sqrt{D^2 + \dfrac{L^2}{2}}} ,\hat{z}$

Resposta final:
$\vec{E}(P) = \dfrac{2\lambda D l}{\pi\varepsilon_0 (D^2 + l^2)\sqrt{D^2 + 2l^2}} ,\hat{z}$

ou, em termos do lado total $L = 2l$ :

$\vec{E}(P) = \dfrac{\lambda D L}{\pi\varepsilon_0 \left(D^2 + \dfrac{L^2}{4}\right) \sqrt{D^2 + \dfrac{L^2}{2}}} ,\hat{z}$

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