Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Uma esfera de raio R está uniformemente carregada, com carga total q. (a) Determine o potencial V em pontos internos e externos à esfera e trace um gráfico de V em função da distância ao centro. (b) Tomando q = -e, com uma carga puntiforme +e no centro da esfera como modelo para o átomo de hidrogênio, qual é a expressão do potencial neste caso?

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Resolução Passo a Passo:

(a) Potencial de uma esfera uniformemente carregada

Uma esfera com densidade volumétrica constante \rho tem simetria esférica. Primeiro encontramos o campo elétrico via Lei de Gauss e depois integramos para obter o potencial, assumindo V(\infty) = 0.

1. Campo Elétrico

Região Externa (r > R):
Para uma superfície gaussiana esférica de raio r > R, a carga interna é a carga total q.
E_{ext}(r) \cdot (4\pi r^2) = \dfrac{q}{\epsilon_0}

E_{ext}(r) = \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0 r^2}

Região Interna (r < R):
Para uma gaussiana de raio r < R, a carga interna é proporcional ao volume:
q_{int} = \rho \cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3 = q \dfrac{r^3}{R^3}
E_{int}(r) \cdot (4\pi r^2) = \dfrac{q \frac{r^3}{R^3}}{\epsilon_0}

E_{int}(r) = \dfrac{q r}{4\pi\epsilon_0 R^3}

2. Potencial por integração do campo

O potencial é dado por V(r) = -\int_{\infty}^{r} \vec{E} \cdot d\vec{l}, com V(\infty)=0.

Região Externa (r > R):
V_{ext}(r) = -\int_{\infty}^{r} E_{ext}(r') dr' = -\int_{\infty}^{r} \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0 (r')^2} dr'

V_{ext}(r) = \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0} \left[ \dfrac{1}{r'} \right]_{r}^{\infty} = \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0 r}

Região Interna (r < R):
O potencial no interior é a soma da integral do campo de \infty até R mais a integral de R até r.
V_{int}(r) = V_{ext}(R) + \left( -\int_{R}^{r} E_{int}(r') dr' \right)
V_{int}(r) = \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0 R} - \int_{R}^{r} \dfrac{q r'}{4\pi\epsilon_0 R^3} dr'

V_{int}(r) = \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0 R} - \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0 R^3} \left[ \dfrac{(r')^2}{2} \right]_{R}^{r} V_{int}(r) = \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0 R} - \dfrac{q}{8\pi\epsilon_0 R^3} (r^2 - R^2) V_{int}(r) = \dfrac{q}{8\pi\epsilon_0 R} \left( 3 - \dfrac{r^2}{R^2} \right)

3. Gráfico de V vs r

• Para r > R: V(r) decai como 1/r, partindo de V(R) = \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0 R} e tendendo a zero no infinito.
  
• Para r < R V(r) é uma parábola voltada para baixo (se q>0) ou para cima (se q<0). No centro (r=0): V(0) = \dfrac{3q}{8\pi\epsilon_0 R}. O potencial é contínuo em r = R.

Resumo do item (a):

• Externo: V(r) = \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0 r} para r \geq R
• Interno: V(r) = \dfrac{q}{8\pi\epsilon_0 R} \left( 3 - \dfrac{r^2}{R^2} \right) para 0 \leq r \leq R

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(b) Modelo do átomo de hidrogênio

Agora temos uma carga pontual +e no centro e uma distribuição esférica uniforme de carga negativa com carga total q = -e e raio R. O potencial total é a soma dos potenciais da carga pontual e da esfera carregada.

Potencial da carga pontual central +e:
V_{+}(r) = \dfrac{e}{4\pi\epsilon_0 r} para todo r > 0.

Potencial da esfera com carga -e:
Usando os resultados do item (a) com q = -e:

• Externo (r > R): V_{-}(r) = -\dfrac{e}{4\pi\epsilon_0 r}
• Interno (r < R): V_{-}(r) = -\dfrac{e}{8\pi\epsilon_0 R} \left( 3 - \dfrac{r^2}{R^2} \right)

Potencial total V_T(r) = V_{+}(r) + V_{-}(r):

Região Externa (r > R):

V_T(r) = \dfrac{e}{4\pi\epsilon_0 r} - \dfrac{e}{4\pi\epsilon_0 r} = 0

Região Interna (r < R):
V_T(r) = \dfrac{e}{4\pi\epsilon_0 r} - \dfrac{e}{8\pi\epsilon_0 R} \left( 3 - \dfrac{r^2}{R^2} \right)
Podemos reescrever como:
V_T(r) = \dfrac{e}{4\pi\epsilon_0} \left[ \dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{2R} \left( 3 - \dfrac{r^2}{R^2} \right) \right]

V_T(r) = \dfrac{e}{4\pi\epsilon_0} \left[ \dfrac{1}{r} - \dfrac{3}{2R} + \dfrac{r^2}{2R^3} \right]

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Resumo das Respostas Finais:

(a)

• Para r \geq R: V(r) = \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0 r}
• Para 0 \leq r \leq R: V(r) = \dfrac{q}{8\pi\epsilon_0 R} \left( 3 - \dfrac{r^2}{R^2} \right)
• Gráfico: Curva contínua que decai como 1/r para r > R e é parabólica (côncava para baixo se q>0) para r < R.

(b) Modelo do átomo de hidrogênio (+e no centro, esfera de carga -e):

• Para r > R: V(r) = 0
• Para 0 < r < R: V(r) = \dfrac{e}{4\pi\epsilon_0} \left( \dfrac{1}{r} - \dfrac{3}{2R} + \dfrac{r^2}{2R^3} \right)