Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Uma partícula de massa m e carga negativa -q está vinculada a mover-se sobre a mediatriz do segmento que liga duas cargas positivas +Q , separadas por uma distância d (fig.). Inicialmente, a partícula está a uma distância y \ll d do centro desse segmento. Mostre que ela executa um movimento harmônico simples em torno do centro, e calcule a frequência angular \omega de oscilação.

Passo 1: Configuração e simetria

• Duas cargas fixas +Q localizadas em x = \pm d/2 , y = 0 .
• Carga -q localizada em (0, y) sobre a mediatriz (eixo y ).
• Distância de cada carga +Q a -q :
  r = \sqrt{y^2 + (d/2)^2}

Passo 2: Forças na direção x

Por simetria, as componentes horizontais das forças elétricas se cancelam.
F_{x,\text{total}} = 0

Passo 3: Força resultante na direção y

Força de atração entre cada +Q e -q :
F = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{Qq}{r^2}

Componente vertical de cada força:
F_y = -F \sin\theta \quad \text{(negativo porque atrai para baixo)}

Força vertical total:
F_y^{\text{total}} = 2 \left( -F \sin\theta \right) = -\dfrac{2}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{Qq}{r^2} \cdot \dfrac{y}{r}
F_y^{\text{total}} = -\dfrac{Qq}{2\pi\varepsilon_0} \dfrac{y}{(y^2 + (d/2)^2)^{3/2}}

Passo 4: Aproximação para y \ll d

Denominador: (y^2 + (d/2)^2)^{3/2} \approx \left( \dfrac{d^2}{4} \right)^{3/2} = \dfrac{d^3}{8}

Assim:
F_y^{\text{total}} \approx -\dfrac{Qq}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{y}{d^3/8} = -\dfrac{4Qq}{\pi\varepsilon_0 d^3} , y

Passo 5: Equação do movimento

Segunda lei de Newton na direção y :
m \dfrac{d^2 y}{dt^2} = -\dfrac{4Qq}{\pi\varepsilon_0 d^3} , y

\dfrac{d^2 y}{dt^2} + \dfrac{4Qq}{\pi\varepsilon_0 m d^3} , y = 0

Esta é a equação do movimento harmônico simples (MHS).

Passo 6: Frequência angular

Comparando com a forma padrão \ddot{y} + \omega^2 y = 0 :
\omega^2 = \dfrac{4Qq}{\pi\varepsilon_0 m d^3}

\omega = 2 \sqrt{\dfrac{Qq}{\pi\varepsilon_0 m d^3}}

Resposta Final:
A partícula executa um MHS com frequência angular:

\omega = 2 \sqrt{\dfrac{Qq}{\pi\varepsilon_0 m d^3}}