Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

O valor médio do campo elétrico na atmosfera num determinado dia, num ponto da superfície da Terra é de 300 N/C, dirigido verticalmente para baixo. A uma altitude de 1400 m, ele reduz-se a 20 N/C. Qual é a densidade média de carga na atmosfera abaixo de 1400 m?

Passo 1: Interpretação do problema e modelo físico

Consideramos a Terra como uma esfera de raio R_T com carga líquida q_1 na superfície. A uma altitude r = 1400 \text{ m}, o campo medido corresponde à carga total q_2 da Terra mais a carga da atmosfera abaixo dessa altitude. A diferença \Delta q = q_1 - q_2 representa a carga líquida contida na camada atmosférica de espessura r.

Passo 2: Expressão das cargas a partir do campo elétrico
Para uma distribuição esférica de carga, o campo elétrico à distância d do centro é:

E = k \dfrac{q}{d^2} \implies q = \dfrac{E d^2}{k}

Onde k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9\times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2.

Assim:

• Na superfície (d = R_T): q_1 = \dfrac{E_S R_T^2}{k}
• Na altitude r (d = R_T + r): q_2 = \dfrac{E_A (R_T + r)^2}{k}

Passo 3: Carga na camada atmosférica
A diferença de carga é:

\Delta q = q_1 - q_2 = \dfrac{1}{k} \left[ E_S R_T^2 - E_A (R_T + r)^2 \right]

Passo 4: Volume da camada atmosférica
O volume da casca esférica entre R_T e R_T + r é:

\Delta V = \dfrac{4}{3}\pi (R_T + r)^3 - \dfrac{4}{3}\pi R_T^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left[ (R_T + r)^3 - R_T^3 \right]

Usando a identidade a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) com a = R_T + r e b = R_T:

\Delta V = \dfrac{4}{3}\pi r \left[ (R_T + r)^2 + (R_T + r)R_T + R_T^2 \right]

Simplificando:

\Delta V = \dfrac{4}{3}\pi r \left( 3R_T^2 + 3R_T r + r^2 \right)

Passo 5: Densidade média de carga
A densidade média de carga é:

Passo 6: Substituição dos valores numéricos
Dados:

• E_S = 300 \text{ N/C}
• E_A = 20 \text{ N/C}
• r = 1400 \text{ m}
• R_T \approx 6.731 \times 10^6 \text{ m} (raio da Terra)
• k \approx 9.0 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2

Substituindo na expressão de \rho:

Calculando passo a passo:

1. R_T^2 \approx 4.531\times 10^{13} \text{ m}^2
2. (R_T + r)^2 \approx 4.533\times 10^{13} \text{ m}^2
3. Numerador: 300 \times 4.531\times 10^{13} - 20 \times 4.533\times 10^{13} \approx 1.359\times 10^{16} - 0.9066\times 10^{15} = 1.268\times 10^{16} (em N·m²/C)
4. Dividindo por k: \Delta q \approx 1.409\times 10^{6} \text{ C}
5. Denominador: \Delta V \approx 7.935\times 10^{17} \text{ m}^3
6. \rho \approx 1.776\times 10^{-12} \text{ C/m}^3

Passo 7: Resultado final

\rho \approx 1,8 \times 10^{-12} \text{C/m}^3