Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Calcule \text{div} (\vec{c} \times \vec{r}) , onde \vec{c} é um vetor constante.

Passo 1: Expressão do produto vetorial
Sendo \vec{c} = (c_x, c_y, c_z) constante e \vec{r} = (x, y, z) o vetor posição, o produto vetorial é:

\vec{c} \times \vec{r} = (c_y z - c_z y) \hat{i} + (c_z x - c_x z) \hat{j} + (c_x y - c_y x) \hat{k}

Passo 2: Cálculo do divergente
O divergente é definido como:

\text{div}(\vec{V}) = \dfrac{\partial V_x}{\partial x} + \dfrac{\partial V_y}{\partial y} + \dfrac{\partial V_z}{\partial z}

Para \vec{V} = \vec{c} \times \vec{r} :

\text{div}(\vec{c} \times \vec{r}) = \dfrac{\partial}{\partial x}(c_y z - c_z y) + \dfrac{\partial}{\partial y}(c_z x - c_x z) + \dfrac{\partial}{\partial z}(c_x y - c_y x)

Passo 3: Derivação termo a termo
Como \vec{c} é constante:

\dfrac{\partial}{\partial x}(c_y z - c_z y) = c_y \dfrac{\partial z}{\partial x} - c_z \dfrac{\partial y}{\partial x} = 0 - 0 = 0

\dfrac{\partial}{\partial y}(c_z x - c_x z) = c_z \dfrac{\partial x}{\partial y} - c_x \dfrac{\partial z}{\partial y} = 0 - 0 = 0

\dfrac{\partial}{\partial z}(c_x y - c_y x) = c_x \dfrac{\partial y}{\partial z} - c_y \dfrac{\partial x}{\partial z} = 0 - 0 = 0

Passo 4: Resultado do divergente
Somando os três termos:

\text{div}(\vec{c} \times \vec{r}) = 0 + 0 + 0 = 0

Observação:
O resultado pode também ser expresso em termos do rotacional de \vec{r} usando a identidade vetorial:

\text{div}(\vec{c} \times \vec{r}) = \vec{r} \cdot (\nabla \times \vec{c}) - \vec{c} \cdot (\nabla \times \vec{r})

Como \vec{c} é constante, \nabla \times \vec{c} = 0 . Além disso, \nabla \times \vec{r} = 0 (pois \vec{r} é irrotacional em coordenadas cartesianas). Portanto, novamente obtemos 0.

Resposta final:

\operatorname{div}(\vec{c} \times \vec{r}) = 0