Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição
Este material contém resoluções detalhadas de exercícios selecionados do livro Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição de H. Moysés Nussenzveig. Use os seletores abaixo para navegar entre as questões disponíveis.
Calcule \text{div} (\vec{c} \times \vec{r}) , onde \vec{c} é um vetor constante.
Passo 1: Expressão do produto vetorial
Sendo \vec{c} = (c_x, c_y, c_z) constante e \vec{r} = (x, y, z) o vetor posição, o produto vetorial é:
Passo 2: Cálculo do divergente
O divergente é definido como:
Para \vec{V} = \vec{c} \times \vec{r} :
\text{div}(\vec{c} \times \vec{r}) = \dfrac{\partial}{\partial x}(c_y z - c_z y) + \dfrac{\partial}{\partial y}(c_z x - c_x z) + \dfrac{\partial}{\partial z}(c_x y - c_y x)Passo 3: Derivação termo a termo
Como \vec{c} é constante:
Passo 4: Resultado do divergente
Somando os três termos:
Observação:
O resultado pode também ser expresso em termos do rotacional de \vec{r} usando a identidade vetorial:
Como \vec{c} é constante, \nabla \times \vec{c} = 0 . Além disso, \nabla \times \vec{r} = 0 (pois \vec{r} é irrotacional em coordenadas cartesianas). Portanto, novamente obtemos 0.
Resposta final:
\operatorname{div}(\vec{c} \times \vec{r}) = 0