Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Um cilindro circular muito longo, de raio R, está uniformemente carregado, com densidade volumétrica de carga \delta.

(a) Por argumentos de simetria (explicando-os), obtenha a direção e o sentido do campo \vec{E} num ponto P à distância \rho do eixo do cilindro e sua dependência das coordenadas cilíndricas (\rho, \phi, z).

(b) Calcule |\vec{E}| num ponto P interno ao cilindro (0 < \rho < R).

(c) Esboce um gráfico de |\vec{E}| em função de \rho.

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Resolução Passo a Passo:

(a) Análise de Simetria

Passo 1: Simetria de translação ao longo do eixo z.
Como o cilindro é “muito longo” (infinito), a distribuição de carga é invariante por qualquer translação ao longo do eixo z. Portanto, o campo elétrico não pode depender da coordenada z. Ou seja, \vec{E} não é função de z.

Passo 2: Simetria de rotação em torno do eixo z.
A distribuição de carga é uniforme e cilíndrica. Se rotacionarmos o sistema em torno do eixo z por qualquer ângulo \phi, a configuração de cargas permanece idêntica. Consequentemente, o campo elétrico em um ponto a uma distância \rho do eixo não pode depender do ângulo azimutal \phi. Ou seja, \vec{E} não é função de \phi.

Passo 3: Direção do campo.
A única direção especial que resta no espaço, dada a invariância por translação em z e rotação em \phi, é a direção radial cilíndrica, perpendicular ao eixo z. Portanto, o campo deve ser radial e apontar para fora do eixo se a densidade de carga \delta for positiva (ou para dentro se for negativa). Não há componente ao longo de z (por simetria de reflexão em relação ao plano z=0) nem componente azimutal \phi.

Conclusão do item (a):
O campo elétrico é da forma:
\vec{E} = E(\rho) \hat{\rho}
Ou seja, depende apenas da distância radial \rho, tem direção radial e sentido para fora (se \delta > 0). Ele é independente de \phi e z.

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(b) Campo Interno (0 < \rho < R)

Passo 1: Escolha da superfície gaussiana.
Devido à simetria cilíndrica, escolhemos como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio \rho e altura L, com tampas perpendiculares ao eixo z.

Passo 2: Aplicação da Lei de Gauss.
A Lei de Gauss estabelece:

\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}

Passo 3: Cálculo do fluxo elétrico.

• Nas tampas do cilindro gaussiano, o vetor área d\vec{A} é paralelo a \hat{z}, enquanto o campo \vec{E} é radial (\hat{\rho}). Portanto, \vec{E} \cdot d\vec{A} = 0 nas tampas.
• Na superfície lateral, d\vec{A} aponta na direção radial \hat{\rho}, que é a mesma do campo. Além disso, pela simetria, o módulo do campo E(\rho) é constante sobre toda essa superfície.
  O fluxo total é então:
  \Phi = E(\rho) \cdot (\text{Área lateral}) = E(\rho) \cdot (2\pi \rho L)

Passo 4: Cálculo da carga interna (Q_{int}).
A carga dentro do cilindro gaussiano está contida em um volume cilíndrico de raio \rho e altura L, com densidade constante \delta.

Q_{int} = \delta \cdot V_{int} = \delta \cdot (\pi \rho^2 L)

Passo 5: Determinação do campo.
Substituindo na Lei de Gauss:
E(\rho) \cdot (2\pi \rho L) = \dfrac{\delta \pi \rho^2 L}{\epsilon_0}
Cancelando os fatores comuns \pi, \rho (para \rho \neq 0) e L:

E(\rho) = \dfrac{\delta \rho}{2 \epsilon_0}

Resposta do item (b):
O módulo do campo elétrico dentro do cilindro é |\vec{E}| = \dfrac{\delta \rho}{2 \epsilon_0}.
Na forma vetorial:

\vec{E}(\rho) = \dfrac{\delta \rho}{2 \epsilon_0} \hat{\rho} \quad \text{para} \quad 0 < \rho < R

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(c) Esboço do Gráfico |\vec{E}| vs \rho

Para completar o esboço, precisamos também do campo fora do cilindro (\rho > R).

Cálculo do Campo Externo (\rho > R):

1. A gaussiana é um cilindro de raio \rho > R e altura L.
2. O fluxo continua sendo \Phi = E(\rho) \cdot (2\pi \rho L).
3. A carga interna agora é a carga total contida no cilindro carregado de raio R e altura L:
   Q_{int} = \delta \cdot (\pi R^2 L)
4. Pela Lei de Gauss:
   E(\rho) \cdot (2\pi \rho L) = \dfrac{\delta \pi R^2 L}{\epsilon_0}
   E(\rho) = \dfrac{\delta R^2}{2 \epsilon_0 \rho}

Características do Gráfico:

• Região interna (0 \leq \rho < R):

O campo cresce linearmente com \rho: |\vec{E}| = \dfrac{\delta}{2 \epsilon_0} \rho. No centro (\rho = 0): O campo é zero. Na superfície (\rho = R): O campo atinge seu valor máximo interno: |\vec{E}| = \dfrac{\delta R}{2 \epsilon_0}. Região externa (\rho > R): O campo decai com o inverso de \rho: |\vec{E}| = \dfrac{\delta R^2}{2 \epsilon_0 \rho}. Em \rho = R, as duas expressões coincidem, então o campo é contínuo na superfície.

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Resumo das Respostas Finais:

(a) Por simetria cilíndrica (invariância por translações em z e rotações em \phi), o campo elétrico é radial, dependente apenas de \rho, e da forma \vec{E} = E(\rho) \hat{\rho}.

(b) Para 0 < \rho < R:

\vec{E}(\rho) = \dfrac{\delta \rho}{2 \epsilon_0} \hat{\rho}

(c) Gráfico de |\vec{E}| versus \rho:

• Cresce linearmente de 0 a \dfrac{\delta R}{2 \epsilon_0} no intervalo [0, R].
• Decai como 1/\rho para \rho > R, a partir do valor \dfrac{\delta R}{2 \epsilon_0}.