Problema 1 - Capítulo 4 - Física - Moysés - Vol 3

Um par de cargas puntiformes $+2q$ e $-q$ estão separadas por uma distância $l$ . Mostre que a superfície equipotencial $V = 0$ é uma esfera e determine o seu centro e raio.

Resolução Passo a Passo:

Para encontrar a superfície equipotencial $V=0$ , vamos somar os potenciais gerados por cada carga em um ponto genérico do espaço e igualar a zero.

Passo 1: Escolher um sistema de coordenadas.
Vamos posicionar as cargas sobre o eixo $y$ por conveniência.

Coloque a carga $+2q$ na origem: $(0, 0, 0)$ .
Coloque a carga $-q$ no ponto $(0, l, 0)$ , onde $l$ é a distância de separação.

Considere um ponto genérico $P(x, y, z)$ .

Passo 2: Expressar os potenciais.
O potencial elétrico devido a uma carga pontual $Q$ é $V = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{Q}{r}$ , onde $r$ é a distância da carga ao ponto.

Potencial devido a $+2q$ em:

$V_1 = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \dfrac{2q}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$

Potencial devido a $-q$ em $(0, l, 0)$ :

$V_2 = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \dfrac{-q}{\sqrt{x^2 + (y - l)^2 + z^2}}$

Passo 3: Somar os potenciais e igualar a zero ( $V=0$ ).

$V_{total} = V_1 + V_2 = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \dfrac{2q}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} - \dfrac{q}{\sqrt{x^2 + (y - l)^2 + z^2}} \right) = 0$

Como $\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}$ e $q$ são constantes não nulas, podemos simplificar:
$\dfrac{2}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} - \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + (y - l)^2 + z^2}} = 0$

$\dfrac{2}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + (y - l)^2 + z^2}}$

Passo 4: Manipular a equação.
Invertendo ambos os lados (o que é válido pois os radicandos são positivos):

$\dfrac{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}{2} = \sqrt{x^2 + (y - l)^2 + z^2}$

Elevando ao quadrado:

\dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{4} = x^2 + (y - l)^2 + z^2

Multiplicando por 4:

x^2 + y^2 + z^2 = 4x^2 + 4(y - l)^2 + 4z^2

Passo 5: Reorganizar os termos.
Leve todos os termos para um lado:
$x^2 + y^2 + z^2 - 4x^2 - 4(y - l)^2 - 4z^2 = 0$

-3x^2 + y^2 - 4(y - l)^2 - 3z^2 = 0

Expanda $(y - l)^2 = y^2 - 2ly + l^2$ :
$-3x^2 + y^2 - 4(y^2 - 2ly + l^2) - 3z^2 = 0$
$-3x^2 + y^2 - 4y^2 + 8ly - 4l^2 - 3z^2 = 0$

-3x^2 - 3y^2 + 8ly - 4l^2 - 3z^2 = 0

Multiplique a equação por $-1$ e divida por 3:

x^2 + y^2 + z^2 - \dfrac{8l}{3}y + \dfrac{4l^2}{3} = 0

Passo 6: Completar o quadrado para $y$ .
Reescreva a equação agrupando os termos em $y$ :

x^2 + z^2 + \left( y^2 - \dfrac{8l}{3}y \right) = -\dfrac{4l^2}{3}

Para completar o quadrado: $y^2 - \dfrac{8l}{3}y = \left( y - \dfrac{4l}{3} \right)^2 - \dfrac{16l^2}{9}$

Substitua:

x^2 + z^2 + \left( y - \dfrac{4l}{3} \right)^2 - \dfrac{16l^2}{9} = -\dfrac{4l^2}{3}

Passo 7: Isolar os termos quadrados.

x^2 + \left( y - \dfrac{4l}{3} \right)^2 + z^2 = \dfrac{16l^2}{9} - \dfrac{4l^2}{3}

Para subtrair, escreva $\dfrac{4l^2}{3} = \dfrac{12l^2}{9}$ :
$x^2 + \left( y - \dfrac{4l}{3} \right)^2 + z^2 = \dfrac{16l^2}{9} - \dfrac{12l^2}{9}$

x^2 + \left( y - \dfrac{4l}{3} \right)^2 + z^2 = \dfrac{4l^2}{9}

Passo 8: Identificar a esfera.
A equação final é:

x^2 + \left( y - \dfrac{4l}{3} \right)^2 + z^2 = \left( \dfrac{2l}{3} \right)^2

Esta é a equação de uma esfera em coordenadas cartesianas.

Centro: $\left(0, \dfrac{4l}{3}, 0 \right)$
Raio: $R = \dfrac{2l}{3}$

Resposta Final:

A superfície equipotencial $V = 0$ é uma esfera de centro em $\left(0, \dfrac{4l}{3}, 0\right)$ e raio $\dfrac{2l}{3}$ .

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