Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Uma carga puntiforme q encontra-se no prolongamento do eixo de um dipolo de momento p, a uma distância z do dipolo muito maior que as dimensões do mesmo.

(a) Calcule a energia potencial da carga no campo eletrostático do dipolo.

(b) Calcule a força exercida pela carga sobre o dipolo.

(c) A molécula de HCl é polar, com momento de dipolo permanente de 3,48 \times 10^{-30} \, \text{C} \cdot \text{m}. Com que força atua sobre um elétron alinhado com ela, a uma distância de 10 \, \mathring{A}? A força é atrativa ou repulsiva?

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Resolução Passo a Passo:

A configuração é de uma carga q no eixo de um dipolo elétrico, a uma distância z muito maior que a separação interna do dipolo (z \gg d). O potencial de um dipolo em um ponto no seu eixo a uma distância z é a chave para resolver o problema.

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(a) Energia Potencial U(z)

Passo 1: Potencial do dipolo no eixo.
Para um dipolo elétrico de momento \vec{p} alinhado com o eixo z, o potencial em um ponto no eixo a uma distância z do centro do dipolo (com z \gg d) é:
V_{dip}(z) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{p}{z^2}
(Assumindo que o dipolo aponta da carga negativa para a positiva, e z é medido do dipolo até a carga q).

Passo 2: Energia potencial de interação.
A energia potencial de uma carga q colocada nesse potencial é:

U(z) = q \cdot V_{dip}(z) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{q p}{z^2}

Convencionalmente, define-se U(\infty) = 0 como referência, então U(z) - U(\infty) = U(z).

Resposta do item (a): U(z) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{q p}{z^2}

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(b) Força exercida pela carga sobre o dipolo

Passo 1: Relação entre força e energia potencial.
A força sobre o dipolo devido ao campo da carga é o negativo do gradiente da energia potencial de interação. Como o sistema tem simetria ao longo do eixo z, a força é ao longo desse eixo:

F(z) = -\dfrac{dU}{dz}

Passo 2: Calcular a derivada.
U(z) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{q p}{z^2} = \dfrac{q p}{4\pi\epsilon_0} z^{-2}

\dfrac{dU}{dz} = \dfrac{q p}{4\pi\epsilon_0} \cdot (-2) z^{-3} = -\dfrac{q p}{2\pi\epsilon_0 z^3}

Passo 3: Obter a força.

F(z) = -\left( -\dfrac{q p}{2\pi\epsilon_0 z^3} \right) = \dfrac{q p}{2\pi\epsilon_0 z^3}

Na forma vetorial, se \hat{z} aponta do dipolo para a carga q:

\vec{F} = \dfrac{q p}{2\pi\epsilon_0 z^3} \hat{z}

Interpretação: Se q > 0 e p > 0, a força é positiva, ou seja, repulsiva (aponta no sentido de \hat{z}, afastando o dipolo da carga). Se q < 0 e p > 0, a força é negativa, ou seja, atrativa.

Resposta do item (b): \vec{F} = \dfrac{q p}{2\pi\epsilon_0 z^3} \hat{z}

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(c) Aplicação numérica para HCl e um elétron

Dados:

• Momento de dipolo: p = 3.48 \times 10^{-30} \, \text{C}\cdot\text{m}
• Carga do elétron: q = -e = -1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}
• Distância: z = 10 \, \mathring{A} = 10 \times 10^{-10} \, \text{m} = 1.0 \times 10^{-9} \, \text{m}
• Constante: \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} = 8.9875 \times 10^9 \, \text{Nm}^2/\text{C}^2 (ou \epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/(\text{Nm}^2))

Passo 1: Usar a fórmula da força do item (b).
F = \dfrac{q p}{2\pi\epsilon_0 z^3} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \dfrac{2 q p}{z^3} (nota: 2\pi\epsilon_0 = \frac{\epsilon_0}{2} \cdot 4\pi)

Passo 2: Substituir os valores.
Primeiro calcule o produto q p:

q p = (-1.602 \times 10^{-19}) \times (3.48 \times 10^{-30}) = -5.57496 \times 10^{-49} \, \text{C}^2\cdot\text{m}

Agora z^3:

z^3 = (1.0 \times 10^{-9})^3 = 1.0 \times 10^{-27} \, \text{m}^3

Passo 3: Calcular a força.
Usando \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} = 8.988 \times 10^9 \, \text{Nm}^2/\text{C}^2:
\vec{F} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \dfrac{2 q p}{z^3} = (8.988 \times 10^9) \times \dfrac{2 \times (-5.575 \times 10^{-49})}{1.0 \times 10^{-27}}
\vec{F} = (8.988 \times 10^9) \times \dfrac{-1.115 \times 10^{-48}}{1.0 \times 10^{-27}}
\vec{F} = (8.988 \times 10^9) \times (-1.115 \times 10^{-21})

\vec{F} = -1.002 \times 10^{-11} \, \text{N}

Passo 4: Determinar o sentido.
O valor negativo indica que a força é oposta ao vetor unitário \hat{z} que aponta do dipolo para o elétron. Ou seja, a força é atrativa, puxando o elétron em direção ao dipolo.

Resposta do item (c):
A força é aproximadamente 1.00 \times 10^{-11} \, \text{N} e é atrativa.

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Resumo das Respostas Finais:

(a) U(z) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{q p}{z^2}

(b) \vec{F} = \dfrac{q p}{2\pi\epsilon_0 z^3} \hat{z}

(c) \vec{F} \approx 1.00 \times 10^{-11} \, \text{N}