Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Calcule a energia potencial de interação entre dois dipolos \vec{p}_1 e \vec{p}_2, sendo \vec{r} o vetor de posição de \vec{p}_2 em relação a \vec{p}_1 (com |\vec{r}| muito maior que as dimensões dos dipolos).

(a) Obtenha o resultado geral.

(b) Particularize para dipolos alinhados com \vec{r}, paralelos ou antiparalelos.

(c) Particularize para dipolos perpendiculares a \vec{r}, paralelos ou antiparalelos. Qual das quatro situações em (b) e (c) é energeticamente favorecida?

(d) Nesse caso mais favorecido, calcule a energia de interação dipolar entre duas moléculas de água à distância de 5 Å uma da outra e compare-a com a energia térmica kT à temperatura ambiente. O momento de dipolo elétrico permanente de uma molécula de água é de 6,2 \times 10^{-30} \, \text{C} \cdot \text{m}.

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Resolução Passo a Passo:

(a) Resultado Geral

Passo 1: Energia potencial de um dipolo em um campo externo.
A energia potencial de um dipolo \vec{p}_2 em um campo elétrico \vec{E}_1 é:

U = -\vec{p}_2 \cdot \vec{E}_1

Passo 2: Campo elétrico de um dipolo.
O campo elétrico produzido por um dipolo \vec{p}_1 na origem, em um ponto \vec{r} (com r \gg d), é:
\vec{E}_1(\vec{r}) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \dfrac{3(\vec{p}_1 \cdot \hat{r})\hat{r} - \vec{p}_1}{r^3} \right]
onde \hat{r} = \vec{r}/r.

Passo 3: Substituir para obter a energia de interação.

U = -\vec{p}_2 \cdot \vec{E}_1(\vec{r}) = -\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \vec{p}_2 \cdot \left[ \dfrac{3(\vec{p}_1 \cdot \hat{r})\hat{r} - \vec{p}_1}{r^3} \right] U = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0 r^3} \left[ \vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2 - 3(\vec{p}_1 \cdot \hat{r})(\vec{p}_2 \cdot \hat{r}) \right]

Resposta (a): U(\vec{r}) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0 r^3} \left[ \vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2 - 3(\vec{p}_1 \cdot \hat{r})(\vec{p}_2 \cdot \hat{r}) \right]

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(b) Dipolos alinhados com \vec{r}

Caso 1: Paralelos (ambos na direção de \hat{r})
\vec{p}_1 = p_1 \hat{r}, \quad \vec{p}_2 = p_2 \hat{r}
Então: \vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2 = p_1 p_2 e \vec{p}_1 \cdot \hat{r} = p_1, \quad \vec{p}_2 \cdot \hat{r} = p_2

Substituindo:
U = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0 r^3} \left[ p_1 p_2 - 3(p_1)(p_2) \right] = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0 r^3} (-2p_1 p_2)

U = -\dfrac{2p_1 p_2}{4\pi\epsilon_0 r^3} = -\dfrac{p_1 p_2}{2\pi\epsilon_0 r^3} (atrativa)

Caso 2: Antiparalelos (\vec{p}_1 na direção de \hat{r}, \vec{p}_2 na direção oposta)
\vec{p}_1 = p_1 \hat{r}, \quad \vec{p}_2 = -p_2 \hat{r}

Então: \vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2 = -p_1 p_2 e \vec{p}_1 \cdot \hat{r} = p_1, \quad \vec{p}_2 \cdot \hat{r} = -p_2

Substituindo:
U = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0 r^3} \left[ -p_1 p_2 - 3(p_1)(-p_2) \right] = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0 r^3} \left[ -p_1 p_2 + 3p_1 p_2 \right]

U = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0 r^3} (2p_1 p_2) = \dfrac{2p_1 p_2}{4\pi\epsilon_0 r^3} = \dfrac{p_1 p_2}{2\pi\epsilon_0 r^3} (repulsiva)

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(c) Dipolos perpendiculares a \vec{r}

Considere \vec{r} na direção \hat{x} e os dipolos na direção \hat{y}.

Caso 1: Paralelos entre si (ambos em \hat{y})
\vec{p}_1 = p_1 \hat{y}, \quad \vec{p}_2 = p_2 \hat{y}, \quad \hat{r} = \hat{x}
Então: \vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2 = p_1 p_2 e \vec{p}_1 \cdot \hat{r} = 0, \quad \vec{p}_2 \cdot \hat{r} = 0
Substituindo:
U = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0 r^3} \left[ p_1 p_2 - 3(0)(0) \right] = \dfrac{p_1 p_2}{4\pi\epsilon_0 r^3} (repulsiva)

Caso 2: Antiparalelos entre si (um em \hat{y}, outro em -\hat{y})
\vec{p}_1 = p_1 \hat{y}, \quad \vec{p}_2 = -p_2 \hat{y}, \quad \hat{r} = \hat{x}
Então: \vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2 = -p_1 p_2 e \vec{p}_1 \cdot \hat{r} = 0, \quad \vec{p}_2 \cdot \hat{r} = 0
Substituindo:
U = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0 r^3} \left[ -p_1 p_2 - 3(0)(0) \right] = -\dfrac{p_1 p_2}{4\pi\epsilon_0 r^3} (atrativa)

Comparação das quatro situações:

1. Alinhados com \vec{r}, paralelos: U = -\dfrac{p_1 p_2}{2\pi\epsilon_0 r^3} (mais atrativa)
   
   
2. Alinhados com \vec{r}, antiparalelos: U = \dfrac{p_1 p_2}{2\pi\epsilon_0 r^3} (repulsiva)
   
   
3. Perpendiculares a \vec{r}, paralelos: U = \dfrac{p_1 p_2}{4\pi\epsilon_0 r^3} (repulsiva)
   
   
4. Perpendiculares a \vec{r}, antiparalelos: U = -\dfrac{p_1 p_2}{4\pi\epsilon_0 r^3} (atrativa)
   
   

A situação energeticamente mais favorecida (menor energia) é a 1: dipolos alinhados com \vec{r} e paralelos entre si.

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(d) Aplicação numérica para moléculas de água

Dados:

• p_1 = p_2 = p = 6.2 \times 10^{-30} \, \text{Cm}
• r = 5 \, \text{Å} = 5 \times 10^{-10} \, \text{m}
• \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} = 8.988 \times 10^9 \, \text{Nm}^2/\text{C}^2
• k = 1.381 \times 10^{-23} \, \text{J/K} (constante de Boltzmann)
• T = 298 \, \text{K} (temperatura ambiente)

Passo 1: Calcular a energia no caso mais favorecido.
Fórmula: U_{min} = -\dfrac{p_1 p_2}{2\pi\epsilon_0 r^3} = -\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \dfrac{2p^2}{r^3}

Passo 2: Cálculos intermediários.
p^2 = (6.2 \times 10^{-30})^2 = 3.844 \times 10^{-59} \, \text{C}^2\text{m}^2
r^3 = (5 \times 10^{-10})^3 = 1.25 \times 10^{-28} \, \text{m}^3

\dfrac{2p^2}{r^3} = \dfrac{2 \times 3.844 \times 10^{-59}}{1.25 \times 10^{-28}} = 6.1504 \times 10^{-31} \, \text{C}^2/\text{m}

Passo 3: Energia de interação.
U_{min} = -(8.988 \times 10^9) \times (6.1504 \times 10^{-31})

U_{min} = -5.528 \times 10^{-21} \, \text{J}

Passo 4: Calcular a energia térmica kT.

kT = (1.381 \times 10^{-23}) \times 298 = 4.115 \times 10^{-21} \, \text{J}

Passo 5: Comparação.
\dfrac{|U_{min}|}{kT} = \dfrac{5.528 \times 10^{-21}}{4.115 \times 10^{-21}} \approx 1.34
A energia de interação dipolar é cerca de 1.34 vezes a energia térmica à temperatura ambiente. Isso significa que a interação dipolar é significativa, mas comparável em magnitude à agitação térmica.

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Resumo das Respostas Finais:

(a) U(\vec{r}) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0 r^3} \left[ \vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2 - 3(\vec{p}_1 \cdot \hat{r})(\vec{p}_2 \cdot \hat{r}) \right]

(b)

• Alinhados com \vec{r} e paralelos: U = -\dfrac{p_1 p_2}{2\pi\epsilon_0 r^3}
  

• Alinhados com \vec{r} e antiparalelos: U = \dfrac{p_1 p_2}{2\pi\epsilon_0 r^3}

(c)

• Perpendiculares a \vec{r} e paralelos: U = \dfrac{p_1 p_2}{4\pi\epsilon_0 r^3}
  

• Perpendiculares a \vec{r} e antiparalelos: U = -\dfrac{p_1 p_2}{4\pi\epsilon_0 r^3}
  

• Situação mais favorecida: Dipolos alinhados com \vec{r} e paralelos.

(d) Para duas moléculas de água a 5 Å:

• U_{min} \approx -5.53 \times 10^{-21} \, \text{J}
  

• kT \approx 4.12 \times 10^{-21} \, \text{J}
  

• |U_{min}| \approx 1.34 \, kT (a interação dipolar é da mesma ordem de grandeza que a energia térmica).