Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Em suas célebres experiências de 1906 que levaram à descoberta do núcleo atômico, Rutherford bombardeou uma fina folha de ouro (número atômico 79) com partículas \alpha (núcleos de He, de carga 2e), produzidas por uma fonte radioativa, e observou que algumas delas chegavam a ser defletidas para trás. A energia cinética inicial das \alpha era de 7,68 MeV. Considere uma colisão frontal entre uma partícula \alpha e um núcleo de ouro, na qual ela é retroespalhada. Qual é a distância de mínima aproximação entre as duas partículas carregadas? Rutherford estimou que o raio do núcleo deveria ser da ordem dessa distância.

---

Resolução Passo a Passo:

O problema trata de uma colisão frontal (head-on) entre uma partícula \alpha e um núcleo de ouro. No ponto de máxima aproximação, toda a energia cinética inicial é convertida em energia potencial eletrostática, pois a partícula \alpha para momentaneamente antes de ser repelida de volta.

Passo 1: Identificar as cargas.

• Carga da partícula \alpha: q_{\alpha} = Z_{\alpha} e = 2e
• Carga do núcleo de ouro (Z=79): q_{Au} = Z_{Au} e = 79e

Passo 2: Aplicar a conservação da energia.
No início (r \to \infty):

• Energia cinética: K_i = 7,68 \, \text{MeV}
• Energia potencial eletrostática: U_i = 0 (pois a distância é muito grande)

No ponto de mínima aproximação d:

• Energia cinética: K_f = 0 (a partícula para momentaneamente)
• Energia potencial: U_f = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{q_{\alpha} q_{Au}}{d}

Conservação da energia: K_i + U_i = K_f + U_f

7,68 \, \text{MeV} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{(2e)(79e)}{d}

Passo 3: Isolar d.

d = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{158 e^2}{7,68 \, \text{MeV}}

Passo 4: Converter unidades e calcular.
É mais prático usar a constante \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0} em unidades de eVm.

Sabemos que:

• \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} = 8.9875 \times 10^9 \, \text{Nm}^2/\text{C}^2
• e = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}
• 1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}

Primeiro, calcule a constante de proporcionalidade:

\dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0} = (1.602 \times 10^{-19})^2 \times (8.988 \times 10^9) = 2.307 \times 10^{-28} \, \text{Jm}

Converta para eV·m:

\dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0} = \dfrac{2.307 \times 10^{-28} \, \text{Jm}}{1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}} = 1.440 \times 10^{-9} \, \text{eVm}

Esta constante é frequentemente expressa como: \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0} = 1.44 \, \text{MeVfm} (pois 10^{-9} \, \text{m} = 10^6 \, \text{fm} e 10^6 \, \text{eV} = 1 \, \text{MeV}).

Passo 5: Substituir na fórmula.
d = \dfrac{158 \times 1.44 \, \text{MeVfm}}{7.68 \, \text{MeV}}

d = \dfrac{227.52 \, \text{fm}}{7.68}

d = 29.625 \, \text{fm} = 2.96 \times 10^{-14} \, \text{m}

---

Resposta Final:

A distância de mínima aproximação na colisão frontal é aproximadamente:

d \approx 2.96 \times 10^{-14} \, \text{m} = 29.6 \, \text{fm}