Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Uma carga negativa fica em equilíbrio quando colocada no ponto médio do segmento de reta que une duas cargas positivas idênticas. Mostre que essa posição de equilíbrio é estável para pequenos deslocamentos da carga negativa em direções perpendiculares ao segmento, mas que é instável para pequenos deslocamentos ao longo dele.

Configuração Inicial do Sistema

Consideremos duas cargas positivas idênticas +Q fixas nos pontos:

• (-D, 0) (carga da esquerda)
• (D, 0) (carga da direita)

Uma carga negativa -q é colocada no ponto médio (0, 0) .

Forças atuando na carga negativa na posição inicial:

• Força da carga positiva da esquerda: \vec{F}_1 (direção horizontal para a esquerda)
• Força da carga positiva da direita: \vec{F}_2 (direção horizontal para a direita)

|\vec{F}_1| = |\vec{F}_2| = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{Q \cdot q}{D^2}

Como as forças têm mesma magnitude mas direções opostas:

\vec{F}_{\text{resultante}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \vec{0}

A carga negativa está em equilíbrio na posição inicial.

Caso 1: Deslocamento perpendicular ao segmento

A carga negativa é deslocada para o ponto (0, z) , onde z \ll D .

Distâncias:

• Distância até cada carga positiva: r = \sqrt{D^2 + z^2}

Forças:

• Magnitude de cada força: F = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{Q \cdot q}{D^2 + z^2}

Componentes das forças:

• As componentes horizontais se cancelam (simetria do sistema)
• As componentes verticais se somam

Componente vertical de cada força:

Força resultante vertical (para baixo, pois atrai de volta):

F_{\text{res,y}} = -2F_y = -2 \cdot \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{Q \cdot q}{D^2 + z^2} \cdot \dfrac{z}{\sqrt{D^2 + z^2}}

Para pequenos deslocamentos z \ll D :

F_{\text{res,y}} \approx -\dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{Q \cdot q}{D^3} \cdot z

Análise: A força resultante é restauradora (sinal negativo, oposta ao deslocamento) e proporcional ao deslocamento.

Equilíbrio ESTÁVEL na direção perpendicular

Caso 2: Deslocamento ao longo do segmento

A carga negativa é deslocada para o ponto (x, 0) , onde |x| \ll D .

Distâncias:

• Até carga da esquerda: r_1 = D + x
• Até carga da direita: r_2 = D - x

Forças:

• Força da esquerda: F_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q \cdot q}{(D + x)^2} (direção ←)
• Força da direita: F_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q \cdot q}{(D - x)^2} (direção →)

Força resultante horizontal:

F_{\text{res,x}} = F_2 - F_1 = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot Q \cdot q \left[ \dfrac{1}{(D - x)^2} - \dfrac{1}{(D + x)^2} \right]

Usando aproximação para x \ll D :

\dfrac{1}{(D \pm x)^2} \approx \dfrac{1}{D^2} \left(1 \mp \dfrac{2x}{D}\right)

F_{\text{res,x}} \approx \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{Q \cdot q}{D^2} \left[ \left(1 + \dfrac{2x}{D}\right) - \left(1 - \dfrac{2x}{D}\right) \right]

F_{\text{res,x}} \approx \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{Q \cdot q}{D^2} \cdot \dfrac{4x}{D}

F_{\text{res,x}} \approx \dfrac{1}{\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{Q \cdot q}{D^3} \cdot x

Análise: A força resultante tem o mesmo sentido do deslocamento (sinal positivo) e é proporcional ao deslocamento.

Equilíbrio INSTÁVEL na direção longitudinal

Resposta Final

Direção perpendicular: Força restauradora proporcional ao deslocamento → EQUILÍBRIO ESTÁVEL

Direção longitudinal: Força no mesmo sentido do deslocamento → EQUILÍBRIO INSTÁVEL

A posição de equilíbrio no ponto médio é, portanto, um ponto de sela no potencial eletrostático.