Física - Young and Freedman - Vol 3 Edição 14

Uma carga puntiforme igual a 2,00 nC está na origem e uma segunda carga puntiforme igual a −5,00 nC encontra-se sobre o eixo x, no ponto x = 0,800 m.

(a) Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico nos seguintes pontos sobre o eixo x:
(i) x = 0,200 m;
(ii) x = 1,20 m;
(iii) x = −0,200 m.

(b) Calcule a força elétrica resultante que essas duas cargas exerceriam sobre um elétron situado em cada um dos pontos mencionados no item (a).

Vamos resolver o problema passo a passo.

Dados:

• Carga 1: q_1 = +2,00 \text{nC} = +2,00 \times 10^{-9} \text{C} (localizada na origem, x = 0)
• Carga 2: q_2 = -5,00 \text{nC} = -5,00 \times 10^{-9} \text{C} (localizada em x = 0,800 \text{m})
• Constante eletrostática: k = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} = 8,99 \times 10^9 \text{Nm}^2/\text{C}^2

O campo elétrico devido a uma carga puntiforme é dado por:
\vec{E} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{q}{r^2} \hat{r}

onde r é a distância da carga ao ponto de interesse e \hat{r} é o vetor unitário da carga para o ponto.

(a) Cálculo do campo elétrico nos pontos sobre o eixo x:

(i) Ponto x = 0,200 \text{m}:

• Distância de q_1 ao ponto: r_1 = 0,200 \text{m}
• Distância de q_2 ao ponto: r_2 = 0,600 \text{m} (pois 0,800 - 0,200 = 0,600)

Campo devido a q_1:
E_1 = k \dfrac{|q_1|}{r_1^2} = (8,99 \times 10^9) \dfrac{2,00 \times 10^{-9}}{(0,200)^2} = 449,5 \text{N/C}

Direção: para a direita (+\hat{i}), pois a carga é positiva.

Campo devido a q_2:
E_2 = k \dfrac{|q_2|}{r_2^2} = (8,99 \times 10^9) \dfrac{5,00 \times 10^{-9}}{(0,600)^2} = 124,9 \text{N/C}

Direção: para a direita (+\hat{i}), pois a carga é negativa.

Campo resultante:

\vec{E} = E_1 + E_2 = 449,5 + 124,9 = 574,4 \text{N/C} \hat{i}

(ii) Ponto x = 1,20 \text{m}:

• Distância de q_1 ao ponto: r_1 = 1,20 \text{m}
• Distância de q_2 ao ponto: r_2 = 0,400 \text{m} (pois 1,20 - 0,800 = 0,400)

Campo devido a q_1:
E_1 = k \dfrac{|q_1|}{r_1^2} = (8,99 \times 10^9) \dfrac{2,00 \times 10^{-9}}{(1,20)^2} = 12,49 \text{N/C}

Direção: para a direita (+\hat{i}), pois a carga é positiva.

Campo devido a q_2:
E_2 = k \dfrac{|q_2|}{r_2^2} = (8,99 \times 10^9) \dfrac{5,00 \times 10^{-9}}{(0,400)^2} = 280,9 \text{N/C}

Direção: para a esquerda (-\hat{i}), pois a carga é negativa.

Campo resultante:
\vec{E} = E_1 - E_2 = 12,49 - 280,9 = -268,4 \text{N/C} \hat{i}
Ou seja, 268,4 \text{N/C} para a esquerda.

(iii) Ponto x = -0,200 \text{m}:

• Distância de q_1 ao ponto: r_1 = 0,200 \text{m}
• Distância de q_2 ao ponto: r_2 = 1,000 \text{m} (pois 0,800 - (-0,200) = 1,000)

Campo devido a q_1:
E_1 = k \dfrac{|q_1|}{r_1^2} = (8,99 \times 10^9) \dfrac{2,00 \times 10^{-9}}{(0,200)^2} = 449,5 \text{N/C}

Direção: para a esquerda (-\hat{i}), pois a carga é positiva.

Campo devido a q_2:
E_2 = k \dfrac{|q_2|}{r_2^2} = (8,99 \times 10^9) \dfrac{5,00 \times 10^{-9}}{(1,000)^2} = 44,95 \text{N/C}

Direção: para a direita (+\hat{i}), pois a carga é negativa.

Campo resultante:
\vec{E} = -E_1 + E_2 = -449,5 + 44,95 = -404,6 \text{N/C} \hat{i}
Ou seja, 404,6 \text{N/C} para a esquerda.

(b) Cálculo da força elétrica sobre um elétron nos mesmos pontos:

A força sobre uma carga q em um campo elétrico é \vec{F} = q \vec{E}.
Para um elétron: q = -e = -1,60 \times 10^{-19} \text{C}.

(i) Ponto x = 0,200 \text{m}:

\vec{E} = 574,4 \text{N/C} \hat{i}
\vec{F} = (-1,60 \times 10^{-19}) \times (574,4 \hat{i}) = -9,19 \times 10^{-17} \text{N} \hat{i}
Força de 9,19 \times 10^{-17} \text{N} para a esquerda.

(ii) Ponto x = 1,20 \text{m}:

\vec{E} = -268,4 \text{N/C} \hat{i}
\vec{F} = (-1,60 \times 10^{-19}) \times (-268,4 \hat{i}) = +4,29 \times 10^{-17} \text{N} \hat{i}
Força de 4,29 \times 10^{-17} \text{N} para a direita.

(iii) Ponto x = -0,200 \text{m}:

\vec{E} = -404,6 \text{N/C} \hat{i}
\vec{F} = (-1,60 \times 10^{-19}) \times (-404,6 \hat{i}) = +6,47 \times 10^{-17} \text{N} \hat{i}
Força de 6,47 \times 10^{-17} \text{N} para a direita.

Respostas finais:

(a) Campo elétrico:

• (i) x = 0,200 \text{m}: \vec{E} = 574,4 \text{N/C} \hat{i}
• (ii) x = 1,20 \text{m}: \vec{E} = 268,4 \text{N/C} (-\hat{i})
• (iii) x = -0,200 \text{m}: \vec{E} = 404,6 \text{N/C} (-\hat{i})

(b) Força sobre um elétron:

• (i) x = 0,200 \text{m}: \vec{F} = 9,19 \times 10^{-17} \text{N} (-\hat{i})
• (ii) x = 1,20 \text{m}: \vec{F} = 4,29 \times 10^{-17} \text{N} \hat{i}
• (iii) x = -0,200 \text{m}: \vec{F} = 6,47 \times 10^{-17} \text{N} \hat{i}