Física - Young and Freedman - Vol 3 Edição 14

Duas cargas puntiformes q são colocadas sobre o eixo x, uma no ponto x = a e outra no ponto x = −a.

(a) Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico no ponto x = 0.

(b) Deduza uma expressão para o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo x. Use seu resultado para fazer um gráfico do campo elétrico em função de x para valores de x compreendidos entre −4a e +4a.

Resolução do Problema

Duas cargas puntiformes positivas q são colocadas sobre o eixo x, uma em x = a e outra em x = -a.

(a) Campo elétrico no ponto x = 0

No ponto médio x = 0, as distâncias até cada carga são iguais a a. O campo elétrico gerado por uma carga puntiforme positiva aponta radialmente para fora.

• A carga em x = a produz um campo \vec{E}_1 que, em x=0, aponta no sentido negativo do eixo x (para a esquerda).
• A carga em x = -a produz um campo \vec{E}_2 que, em x=0, aponta no sentido positivo do eixo x (para a direita).

Os módulos dos campos são iguais:

E_1 = E_2 = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{q}{a^2}

Como os vetores têm sentidos opostos, o campo resultante é:

\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \left( -\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{q}{a^2} \right) \hat{i} + \left( \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{q}{a^2} \right) \hat{i} = 0

Resposta (a): O campo elétrico no ponto x = 0 é \boxed{0}.

(b) Expressão para o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo x

Vamos considerar um ponto qualquer sobre o eixo x. O campo resultante será a soma vetorial dos campos produzidos por cada carga. Como ambas as cargas são positivas, seus campos se afastam delas.

Definimos a constante k = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}.

1. Para x > a (à direita de ambas as cargas):

• A carga em x = a está à esquerda do ponto. Seu campo aponta para a direita (+\hat{i}).
• A carga em x = -a está ainda mais à esquerda. Seu campo também aponta para a direita (+\hat{i}).
• Ambos os campos têm o mesmo sentido.

\vec{E}(x) = k \dfrac{q}{(x - a)^2} \hat{i} + k \dfrac{q}{(x + a)^2} \hat{i} = k q \left( \dfrac{1}{(x - a)^2} + \dfrac{1}{(x + a)^2} \right) \hat{i}

2. Para -a < x < a (entre as cargas):

• A carga em x = a está à direita do ponto. Seu campo aponta para a esquerda (-\hat{i}).
• A carga em x = -a está à esquerda do ponto. Seu campo aponta para a direita (+\hat{i}).
• Os campos têm sentidos opostos.

\vec{E}(x) = -k \dfrac{q}{(x - a)^2} \hat{i} + k \dfrac{q}{(x + a)^2} \hat{i} = k q \left( \dfrac{1}{(x + a)^2} - \dfrac{1}{(x - a)^2} \right) \hat{i}

3. Para x < -a (à esquerda de ambas as cargas):

• Ambas as cargas estão à direita do ponto. Seus campos apontam para a esquerda (-\hat{i}).
• Ambos os campos têm o mesmo sentido.

\vec{E}(x) = -k \dfrac{q}{(x - a)^2} \hat{i} - k \dfrac{q}{(x + a)^2} \hat{i} = -k q \left( \dfrac{1}{(x - a)^2} + \dfrac{1}{(x + a)^2} \right) \hat{i}

Resumo da expressão:

\vec{E}(x) = \begin{cases} -k q \left( \dfrac{1}{(x - a)^2} + \dfrac{1}{(x + a)^2} \right) \hat{i}, & x < -a \ k q \left( \dfrac{1}{(x + a)^2} - \dfrac{1}{(x - a)^2} \right) \hat{i}, & -a < x < a \ k q \left( \dfrac{1}{(x - a)^2} + \dfrac{1}{(x + a)^2} \right) \hat{i}, & x > a \end{cases}

Gráfico do campo elétrico em função de x para -4a \leq x \leq 4a

O gráfico da componente E_x do campo elétrico terá o seguinte comportamento:

• Para x < -a: E_x é negativa e seu módulo decresce à medida que x se afasta para a esquerda.
• Para -a < x < a: E_x é positiva para x < 0 e negativa para x > 0, passando por zero em x=0. Atinge valores máximos em magnitude próximo a x = \pm a. Para x > a: E_x é positiva e seu módulo decresce à medida que x se afasta para a direita.

O gráfico é simétrico em relação à origem (x=0) e assume valores muito grandes (tende ao infinito) quando x se aproxima de \pm a, pois são as posições das cargas.

Respostas Finais

a. No ponto x = 0, o campo elétrico é \boxed{0}.

b. A expressão para o campo elétrico em qualquer ponto do eixo x é:

\boxed{ \vec{E}(x) = \begin{cases} -\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \dfrac{1}{(x - a)^2} + \dfrac{1}{(x + a)^2} \right) \hat{i}, & x < -a \ \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \dfrac{1}{(x + a)^2} - \dfrac{1}{(x - a)^2} \right) \hat{i}, & -a < x < a \ \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \dfrac{1}{(x - a)^2} + \dfrac{1}{(x + a)^2} \right) \hat{i}, & x > a \end{cases} }

O gráfico de E_x versus x é mostrado schematicamente abaixo (imagem descritiva):

• Negativo para x < -a, cruzando o eixo em x=-a.
• Positivo com um pico em -a < x < 0, cruzando zero em x=0.
• Negativo com um vale em 0 < x < a, cruzando o eixo em x=a.
• Positivo para x > a.