Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

O modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio pode ser comparado ao sistema Terra-Lua, em que o papel da Terra é desempenhado pelo próton e o da Lua pelo elétron, a atração gravitacional sendo substituída pela eletrostática. A distância média entre o elétron e o próton no átomo é da ordem de 0,5 \text{Å} .

(a) Admitindo esse modelo, qual seria a frequência de revolução do elétron em torno do próton? Compare-a com a frequência da luz visível.

(b) Qual seria a velocidade do elétron na sua órbita? É consistente usar a eletrostática nesse caso? É consistente usar a mecânica não-relativística?

(a) Frequência de revolução do elétron

No modelo planetário, a força eletrostática atua como força centrípeta:

F_e = F_c

Força eletrostática (Lei de Coulomb):

F_e = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{q_e q_p}{r^2}

onde:

• q_e = q_p = 1,602 \times 10^{-19} \text{C}
• \varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} \text{F/m}
• r = 0,5 \text{Å} = 0,5 \times 10^{-10} \text{m}

F_e = \dfrac{1}{4\pi \cdot 8,85 \times 10^{-12}} \cdot \dfrac{(1,602 \times 10^{-19})^2}{(0,5 \times 10^{-10})^2}

F_e \approx 9,2 \times 10^{-8} \text{N}

Força centrípeta em termos da velocidade angular:

F_c = m \omega^2 r

Igualando as forças:

m \omega^2 r = F_e \omega^2 = \dfrac{F_e}{m r}

onde:

• m = 9,109 \times 10^{-31} \text{kg} (massa do elétron)
• r = 0,5 \times 10^{-10} \text{m}

\omega^2 = \dfrac{9,2 \times 10^{-8}}{9,109 \times 10^{-31} \cdot 0,5 \times 10^{-10}}

\omega^2 \approx 2,02 \times 10^{33} \text{rad}^2/\text{s}^2 \omega \approx \sqrt{2,02 \times 10^{33}} \approx 4,49 \times 10^{16} \text{rad/s}

Frequência linear:

\omega = 2\pi f f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{4,49 \times 10^{16}}{2\pi}

f \approx 7,2 \times 10^{15} \text{Hz}

Comparação com a luz visível:
A luz visível tem frequências entre 4,3 \times 10^{14} \text{Hz} (vermelho) e 7,5 \times 10^{14} \text{Hz} (violeta).

A frequência orbital do elétron ( 7,2 \times 10^{15} \text{Hz} ) é cerca de 10 vezes maior que a frequência da luz visível mais alta, situando-se na região do ultravioleta.

(b) Velocidade do elétron e consistência dos modelos

Cálculo da velocidade orbital:

Da força centrípeta:

F_e = \dfrac{m v^2}{r}

v^2 = \dfrac{F_e \cdot r}{m}

v^2 = \dfrac{9,2 \times 10^{-8} \cdot 0,5 \times 10^{-10}}{9,109 \times 10^{-31}}

v^2 \approx 5,05 \times 10^{12} \text{m}^2/\text{s}^2

v \approx 2,25 \times 10^6 \text{m/s} = 2,25 \times 10^3 \text{km/s}

Comparação com a velocidade da luz:

c = 3,0 \times 10^5 \text{km/s}

\dfrac{v}{c} = \dfrac{2,25 \times 10^3}{3,0 \times 10^5} \approx 0,0075 = 0,75\%

Análise de consistência:

1. Eletrostática:
   A força eletrostática é válida para cargas em repouso ou movimento lento. Como v \ll c , podemos usar a eletrostática clássica.
2. Mecânica não-relativística:
   Como a velocidade do elétron é apenas 0,75\% da velocidade da luz, os efeitos relativísticos são pequenos ( \gamma \approx 1,00003 ), portanto a mecânica newtoniana é uma aproximação adequada.

Respostas finais

(a) f \approx 7,2 \times 10^{15} \text{Hz}
Esta frequência é aproximadamente 10 vezes maior que a frequência da luz visível mais alta, situando-se na região ultravioleta.

(b) v \approx 2,3 \times 10^3 \text{km/s}
É consistente usar a eletrostática clássica.
É consistente usar a mecânica não-relativística ( v \approx 0,75\% c ).