Física - Young and Freedman - Vol 3 Edição 14

Três cargas puntiformes estão dispostas ao longo do eixo x. A carga q1=+ 3,00 uC está na origem e a carga q2 = -5,00 uC está em x = 0,200 m. A carga q3 =-8,00 uC. Onde q3 estará localizada quando a força resultante sobre q1 for 7,0 N no sentido -x?

Passo 1

Temos três cargas puntiformes dispostas ao longo do eixo x:

• Carga q_1 = +3,00 \mu\text{C} localizada na origem: x = 0
• Carga q_2 = -5,00 \mu\text{C} localizada em x = 0,200 \text{m}
• Carga q_3 = -8,00 \mu\text{C} localizada em uma posição desconhecida x_3

A força resultante sobre q_1 é F_R = -7,0 \text{N} (ou seja, 7,0 \text{N} no sentido -x).

Objetivo: Encontrar a posição x_3 da carga q_3.

Passo 2

Análise das Forças em q_1

A força resultante em q_1 é a soma vetorial das forças exercidas por q_2 e q_3:

\vec{F_{R}} = \vec{F_{21}} + \vec{F_{31}}

Como todas as cargas estão alinhadas no eixo x, trabalhamos apenas com a componente x das forças.

Passo 3

Cálculo da Força F_{21}

Pela Lei de Coulomb, a força que q_2 exerce sobre q_1 é:

F_{21} = k \cdot \dfrac{|q_1 \cdot q_2|}{r_{12}^2}

Onde:

• k = 9 \times 10^9 \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2
• r_{12} = 0,200 \text{m} (distância entre q_1 e q_2)

Substituindo os valores:

F_{21} = (9 \times 10^9) \cdot \dfrac{|(+3,00 \times 10^{-6}) \cdot (-5,00 \times 10^{-6})|}{(0,200)^2}

F_{21} = (9 \times 10^9) \cdot \dfrac{(15,00 \times 10^{-12})}{0,0400}

F_{21} = (9 \times 10^9) \cdot (3,75 \times 10^{-10}) = 3,375 \text{N}

Determinação do sinal:
Como q_1 é positiva e q_2 é negativa, a força é atrativa. Portanto, q_2 atrai q_1 para a direita (sentido +x). Assim:

F_{21} = +3,375 \text{N}

Passo 4

Equacionamento da Força Resultante

A força resultante sobre q_1 é:

F_R = F_{21} + F_{31} = -7,0 \text{N}

Substituindo o valor de F_{21}:

3,375 + F_{31} = -7,0

F_{31} = -7,0 - 3,375 = -10,375 \text{N}

Passo 5

Determinação da Posição x_3 pela Força F_{31}

Aplicando a Lei de Coulomb para F_{31}:

|F_{31}| = k \cdot \dfrac{|q_1 \cdot q_3|}{r_{13}^2}

Onde r_{13} = |x_3 - 0| = |x_3| é a distância entre q_1 e q_3.

Substituindo os valores conhecidos:

10,375 = (9 \times 10^9) \cdot \dfrac{|(+3,00 \times 10^{-6}) \cdot (-8,00 \times 10^{-6})|}{x_3^2}

10,375 = (9 \times 10^9) \cdot \dfrac{(24,00 \times 10^{-12})}{x_3^2}

10,375 = \dfrac{0,216}{x_3^2}

Isolando x_3^2:

x_3^2 = \dfrac{0,216}{10,375} = 0,02082

x_3 = \sqrt{0,02082} = 0,1443 \text{m}

Determinação do sinal:
A força F_{31} = -10,375 \text{N} (sentido -x) é atrativa, pois q_1 é positiva e q_3 é negativa. Para que q_3 atraia q_1 para a esquerda, ela deve estar localizada à esquerda da origem. Portanto:

x_3 = -0,1443 \text{m}

Resposta

A carga q_3 = -8,00 \mu\text{C} deve estar localizada em:

x_3 = -0,144 \text{m}

(aproximadamente 14,4 \text{cm} à esquerda da origem)

Verificação: Nesta posição, q_3 exerce uma força atrativa sobre q_1 no sentido -x, que, somada à força exercida por q_2, resulta na força resultante de 7,0 \text{N} no sentido -x, conforme requerido pelo problema.