Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Determine a energia potencial U(r) de uma carga puntiforme q num ponto r de um campo eletrostático uniforme E.

---

Resolução Passo a Passo:

A energia potencial eletrostática de uma carga pontual q em um ponto é dada por , onde é o potencial elétrico naquele ponto. Portanto, precisamos primeiro encontrar o potencial em um campo uniforme.

Passo 1: Relação entre campo e potencial.
A diferença de potencial entre dois pontos a e b é:

V(b) - V(a) = -\int_{a}^{b} \vec{E} \cdot d\vec{l}

Passo 2: Especificar o campo e escolher um sistema de coordenadas.
O campo é uniforme: \vec{E} = E_0 \hat{i} (constante em módulo, direção e sentido). Escolhemos o eixo x na direção do campo.
Um ponto genérico tem vetor posição \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}.

Passo 3: Calcular o potencial.
Vamos definir o potencial de referência V=0 na origem (\vec{r}=0). Queremos V(\vec{r}) em um ponto arbitrário.
O elemento de linha é d\vec{l} = dx\hat{i} + dy\hat{j} + dz\hat{k}.
O produto escalar é \vec{E} \cdot d\vec{l} = E_0 dx.

A diferença de potencial da origem (ponto a) até o ponto \vec{r} (ponto b) é:

V(\vec{r}) - V(0) = -\int_{0}^{\vec{r}} \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\int_{0}^{x, y, z} E_0 dx

Como a integral depende apenas da componente x da trajetória (o campo é conservativo), podemos integrar ao longo do caminho mais simples: primeiro ao longo de x de 0 a x com y=0, z=0, e depois ao longo de y e z (onde \vec{E} \cdot d\vec{l}=0). Assim:
V(\vec{r}) - 0 = -\int_{0}^{x} E_0 dx' = -E_0 x

V(\vec{r}) = -E_0 x

Na forma vetorial, como x = \vec{r} \cdot \hat{i} e \vec{E} = E_0 \hat{i}, temos:

V(\vec{r}) = -\vec{E} \cdot \vec{r}

Passo 4: Obter a energia potencial.
A energia potencial da carga q no ponto \vec{r} é:

U(\vec{r}) = q V(\vec{r}) = -q \vec{E} \cdot \vec{r}

Verificação dimensional: \vec{E} tem unidade N/C, \vec{r} tem unidade m, então \vec{E} \cdot \vec{r} tem unidade N·m/C = J/C = V. Multiplicando por q (C), obtemos Joule (J), unidade correta de energia.

Resposta Final:

A energia potencial de uma carga puntiforme q em um ponto de vetor posição \vec{r} em um campo eletrostático uniforme \vec{E} é:

U(\vec{r}) = -q \vec{E} \cdot \vec{r}