Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Uma casca hemisférica de raio R está uniformemente carregada com carga positiva de densidade superficial \sigma.

(a) Ache o potencial V(O) no ponto central O [tomando V(\infty) = 0].

(b) Uma partícula de massa m e carga q positiva é colocada no ponto O e largada a partir do repouso. A que velocidade a partícula tenderá quando se afastar muito de O?

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RESOLUÇÃO PASSO A PASSO

(a) Cálculo do Potencial V(O) no Centro

Passo 1: Definição do Sistema de Coordenadas e Elemento de Carga.
Vamos posicionar o hemisfério com sua base no plano xy e seu centro na origem O. O eixo de simetria (eixo z) aponta para cima, através do centro da base. Usaremos coordenadas esféricas (R, \theta, \phi), onde:

• R é o raio fixo da casca.
• \theta é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo.
• \phi é o ângulo azimutal.

Para a casca hemisférica, \theta varia de 0 até \pi/2 (meia esfera para cima) e \phi varia de 0 até 2\pi.

O elemento de área superficial na casca esférica de raio fixo R é:

dA = R^2 \sin \theta \, d\theta \, d\phi

O elemento de carga contido nessa área é:

dq = \sigma \, dA = \sigma R^2 \sin \theta \, d\theta \, d\phi

Passo 2: Cálculo da Contribuição de Potencial de um Elemento.
O potencial elétrico no centro O, devido a um elemento de carga dq, é dado por (com V(\infty)=0):

dV(O) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{dq}{r}

onde r é a distância do elemento ao centro. Como todos os pontos da casca estão à mesma distância R do centro, temos r = R.

Substituindo dq:

dV(O) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\sigma R^2 \sin \theta \, d\theta \, d\phi}{R} = \frac{\sigma R}{4\pi\epsilon_0} \sin \theta \, d\theta \, d\phi

Passo 3: Integração sobre toda a Superfície Hemisférica.
Para obter o potencial total, integramos sobre os ângulos \theta e \phi:

V(O) = \int dV(O) = \frac{\sigma R}{4\pi\epsilon_0} \int_{\phi=0}^{2\pi} d\phi \int_{\theta=0}^{\pi/2} \sin \theta \, d\theta

Resolvemos as integrais separadamente:

\int_{0}^{2\pi} d\phi = 2\pi

\int_{0}^{\pi/2} \sin \theta \, d\theta = [-\cos \theta]_{0}^{\pi/2} = (-\cos(\pi/2)) - (-\cos(0)) = (0) - (-1) = 1

Passo 4: Resultado Final para o Potencial.
Substituindo os resultados da integração:

V(O) = \frac{\sigma R}{4\pi\epsilon_0} \cdot (2\pi) \cdot (1) = \frac{\sigma R}{2\epsilon_0}

Portanto, o potencial no centro é:

\boxed{V(O) = \dfrac{\sigma R}{2\epsilon_0}}

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(b) Velocidade Assintótica da Partícula Liberada de O

Passo 1: Aplicação da Conservação da Energia Mecânica.
A partícula de carga q e massa m é liberada do repouso no ponto O, onde o potencial é V(O). Quando ela se afasta "muito" (r \to \infty), o potencial é V(\infty)=0 por definição.

A energia total do sistema (partícula + campo) se conserva, pois a força elétrica é conservativa. Não há forças dissipativas.

Passo 2: Escrevendo as Energias nos Dois Pontos.

• No ponto inicial O (liberada do repouso):
  Energia Potencial Elétrica: U_i = qV(O) = q \cdot \dfrac{\sigma R}{2\epsilon_0}
  Energia Cinética: K_i = 0
• No ponto final no infinito (r \to \infty):
  Energia Potencial Elétrica: U_f = qV(\infty) = 0
  Energia Cinética: K_f = \dfrac{1}{2} m v_f^2, onde v_f é a velocidade assintótica desejada.

Passo 3: Igualando as Energias Totais.
Pela conservação da energia: U_i + K_i = U_f + K_f

q \cdot \dfrac{\sigma R}{2\epsilon_0} + 0 = 0 + \dfrac{1}{2} m v_f^2

Passo 4: Isolando a Velocidade v_f.

\frac{1}{2} m v_f^2 = \dfrac{q\sigma R}{2\epsilon_0}

m v_f^2 = \dfrac{q\sigma R}{\epsilon_0}

v_f^2 = \dfrac{q\sigma R}{m\epsilon_0}

Finalmente:

v_f = \sqrt{\dfrac{q\sigma R}{m\epsilon_0}}

Portanto, a velocidade limite da partícula é:

\boxed{v = \sqrt{\dfrac{q\sigma R}{m\epsilon_0}}}

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RESUMO FINAL

(a) O potencial elétrico no centro O de uma casca hemisférica uniformemente carregada (densidade \sigma, raio R) é:

V(O) = \dfrac{\sigma R}{2\epsilon_0}

(b) Uma partícula de carga q e massa m, liberada do repouso em O, atinge uma velocidade limite ao se afastar para o infinito dada por:

v = \sqrt{\dfrac{q\sigma R}{m\epsilon_0}}