Física - Young and Freedman - Vol 3 Edição 14

Uma carga puntiforme está na origem. Considerando essa carga uma fonte puntiforme, qual é o vetor unitário para um ponto do campo situado em (a) x 0, y =-1,35 m; (b) x=12,0 cm, y=12,0 cm; (c) x=-1,10 m, y=2,6 m? Expresse seus resultados em termos dos vetores unitários e î e j.

Passo 1

Dados do Problema:

• A carga puntiforme está na origem do sistema de coordenadas.
• O vetor unitário \hat{r} aponta da carga (origem) para o ponto do campo desejado.
• O vetor unitário é dado por:
  \hat{r} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \dfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}

Passo 2

a) Ponto (0; -1,35 \text{m}):

Como x = 0 e y = -1,35 \text{m}, o vetor unitário é:

\hat{r} = \dfrac{0}{\sqrt{0^2 + (-1,35)^2}} \hat{i} + \dfrac{-1,35}{\sqrt{0^2 + (-1,35)^2}} \hat{j} = 0 \hat{i} + (-1) \hat{j} = -\hat{j}

Resposta do item (a): \hat{r} = -\hat{j}

Passo 3

b) Ponto (12,0 \text{cm}; 12,0 \text{cm}):

Convertendo para metros: x = 0,12 \text{m}, y = 0,12 \text{m}.

O módulo do vetor posição é:

r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(0,12)^2 + (0,12)^2} = \sqrt{0,0288} = 0,1697 \text{m}

As componentes do vetor unitário são:
\hat{r}_x = \dfrac{x}{r} = \dfrac{0,12}{0,1697} \approx 0,7071

\hat{r}_y = \dfrac{y}{r} = \dfrac{0,12}{0,1697} \approx 0,7071

Portanto:

Resposta do item (b):

Passo 4

c) Ponto (-1,10 \text{m}; 2,60 \text{m}):

O módulo do vetor posição é:

r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-1,10)^2 + (2,60)^2} = \sqrt{1,21 + 6,76} = \sqrt{7,97} \approx 2,823 \text{m}

As componentes do vetor unitário são:
\hat{r}_x = \dfrac{x}{r} = \dfrac{-1,10}{2,823} \approx -0,3897

\hat{r}_y = \dfrac{y}{r} = \dfrac{2,60}{2,823} \approx 0,9210

Portanto:

\hat{r} = -0,39 \hat{i} + 0,92 \hat{j}

Resposta do item (c): \hat{r} = -0,39 \hat{i} + 0,92 \hat{j}

Resposta Final

a) \hat{r} = -\hat{j}

b)

c) \hat{r} = -0,39 \hat{i} + 0,92 \hat{j}