Física - Young and Freedman - Vol 3 Edição 14

Em um experimento no espaço, um próton é mantido fixo e outro é liberado do repouso a uma distância de 2,50 mm. (a) Qual é a aceleração inicial do próton após ser liberado? (b) Faça gráficos qualitativos (sem números!) de aceleração versus tempo e velocidade versus tempo do movimento do próton liberado.

Passo 1

Olá! Vamos resolver este problema sobre o movimento de prótons submetidos à força elétrica.

Dados:

• Massa do próton (m) = 1,67 \times 10^{-27} \text{ kg}
• Distância inicial (d) = 0,0025 \text{ m}
• Constante eletrostática (k) = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2
• Carga do próton (q) = 1,6 \times 10^{-19} \text{ C}

Letra (a) – Aceleração inicial

Vamos usar a Segunda Lei de Newton combinada com a Lei de Coulomb:

F = m \cdot a

\dfrac{k \cdot q^2}{d^2} = m \cdot a

Isolando a aceleração (a):

a = \dfrac{k \cdot q^2}{m \cdot d^2}

Substituindo os valores:

a = \dfrac{(9 \times 10^9) \cdot (1,6 \times 10^{-19})^2}{(1,67 \times 10^{-27}) \cdot (0,0025)^2}

a = \dfrac{(9 \times 10^9) \cdot (2,56 \times 10^{-38})}{(1,67 \times 10^{-27}) \cdot (6,25 \times 10^{-6})}

a = \dfrac{2,304 \times 10^{-28}}{1,04375 \times 10^{-32}} \approx 2,21 \times 10^4 \text{ m/s}^2

Letra (b) – Comportamento da aceleração e velocidade

Aceleração:

• A aceleração é inversamente proporcional ao quadrado da distância (a \propto \frac{1}{d^2})
• No instante inicial, com d = 0,0025 \text{ m}, a aceleração é máxima
• À medida que os prótons se afastam (d aumenta), a aceleração diminui rapidamente
• Quando d \rightarrow \infty, a aceleração tende a zero

Velocidade:

• Partindo do repouso (v_0 = 0), a velocidade inicialmente aumenta rapidamente devido à alta aceleração
• Com o tempo, à medida que a aceleração diminui, a taxa de aumento da velocidade reduz
• A velocidade se aproxima assintoticamente de um valor limite constante
• O gráfico da velocidade versus tempo seria uma curva que começa com inclinação acentuada e gradualmente se torna horizontal

Gráficos característicos:

• Aceleração vs. tempo: Curva decrescente que tende a zero

• Velocidade vs. tempo: Curva com concavidade para baixo, tendendo a uma reta horizontal

Respostas Finais

a) Aceleração inicial: 2,21 \times 10^4 \text{ m/s}^2

b) A aceleração diminui com o quadrado da distância, tendendo a zero, enquanto a velocidade aumenta assintoticamente para um valor limite constante.