Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Um modelo clássico de uma molécula ionizada é constituído por um par de partículas fixas, ambas de carga +e , separadas por uma distância 2a , com uma terceira partícula, de carga -e , massa m , descrevendo uma órbita circular de raio \rho em torno do eixo que liga as duas outras cargas. Obtenha:
(i) o campo elétrico que atua sobre a carga -e ;
(ii) a relação entre o raio \rho e a frequência angular de revolução \omega .

(i) Cálculo do campo elétrico em -e

Configuração:

• Cargas fixas +e em x = \pm a, y = 0, z = 0 .
• Carga -e em x = 0, y = \rho, z = 0 (órbita circular no plano xy em torno do eixo x ).

Distância de cada carga fixa a -e :
r = \sqrt{a^2 + \rho^2}

Campo de uma carga +e no ponto da carga -e :
\vec{E}_+ = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{e}{r^2} , \hat{r}
O vetor unitário \hat{r} aponta da carga fixa para o ponto.

Componentes por simetria:

• Componentes x se cancelam (cargas simétricas em \pm a ).
• Componentes y se somam.

Cálculo da componente y :
E_y = 2 \cdot \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{e}{r^2} \sin\theta

E_y = \dfrac{e}{2\pi\varepsilon_0} \dfrac{\rho}{(a^2 + \rho^2)^{3/2}}

Vetor campo elétrico resultante:
\vec{E} = \dfrac{e}{2\pi\varepsilon_0} \dfrac{\rho}{(a^2 + \rho^2)^{3/2}} , \hat{\rho}
(onde \hat{\rho} é a direção radial para fora do eixo x , no plano xy )

(ii) Relação entre \rho e \omega

Força elétrica sobre -e :
\vec{F}_e = (-e) \vec{E} = -\dfrac{e^2}{2\pi\varepsilon_0} \dfrac{\rho}{(a^2 + \rho^2)^{3/2}} , \hat{\rho}

O sinal negativo indica que a força é atrativa em direção ao eixo x (centro da órbita).

Força centrípeta necessária para o movimento circular:
F_c = m \omega^2 \rho (direção radial para o centro, -\hat{\rho} )

Igualando magnitudes (em módulo):
m \omega^2 \rho = \dfrac{e^2}{2\pi\varepsilon_0} \dfrac{\rho}{(a^2 + \rho^2)^{3/2}}

Simplificando \rho (para \rho \neq 0 ):
m \omega^2 = \dfrac{e^2}{2\pi\varepsilon_0} \dfrac{1}{(a^2 + \rho^2)^{3/2}}

Isolando \omega :
\omega = \sqrt{\dfrac{e^2}{2\pi m \varepsilon_0} \dfrac{1}{(a^2 + \rho^2)^{3/2}}}

Respostas Finais:
(i) \vec{E} = \dfrac{e}{2\pi\varepsilon_0} \dfrac{\rho}{(a^2 + \rho^2)^{3/2}} \, \hat{\rho}

(ii) \omega = \sqrt{\dfrac{e^2}{2\pi m \varepsilon_0} \dfrac{1}{(a^2 + \rho^2)^{3/2}}}