Curso de Física Básica - Volume 3: Eletromagnetismo - 1a Edição

Uma esfera uniformemente carregada com densidade volumétrica \rho contém em seu interior uma cavidade esférica. Mostre que o campo no interior da cavidade é uniforme e é dado por \vec{E} = \rho \vec{d} / (3 \epsilon_0), onde \vec{d} é o vetor que liga os centros das duas esferas (fig.). Sugestão: Use o princípio de superposição.

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Resolução Passo a Passo:

O princípio de superposição permite tratar o problema como a soma de dois campos: o campo de uma esfera maciça carregada (sem cavidade) e o campo de uma esfera menor com carga oposta (que representa a cavidade).

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1. Campo de uma esfera maciça uniformemente carregada

Considere uma esfera maciça de raio R com densidade de carga volumétrica constante \rho e centro na origem O.

Passo 1.1: Para um ponto \vec{r} dentro da esfera (r < R), usamos uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada em O.

Passo 1.2: A carga interna a essa gaussiana é:

q_{int} = \rho \cdot V_{gauss} = \rho \cdot \left( \dfrac{4}{3} \pi r^3 \right)

Passo 1.3: A Lei de Gauss fornece:
\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \dfrac{q_{int}}{\epsilon_0}
Devido à simetria, o campo é radial e constante na gaussiana:

E_{esfera} \cdot (4\pi r^2) = \dfrac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3}{\epsilon_0}

Passo 1.4: Isolando o campo:
E_{esfera} = \dfrac{\rho r}{3 \epsilon_0}
Na forma vetorial, para um vetor posição \vec{r} medido a partir do centro da esfera:

\vec{E}_{esfera}(\vec{r}) = \dfrac{\rho}{3\epsilon_0} \vec{r}

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2. Representação da cavidade pelo princípio de superposição

Seja \vec{d} o vetor que vai do centro da esfera grande (O) ao centro da cavidade esférica (O').

A esfera com cavidade pode ser pensada como:

1. Uma esfera maciça grande de centro O e densidade +\rho.
2. Uma esfera menor (a cavidade) de centro O' e densidade -\rho.

O campo total em qualquer ponto \vec{r} do espaço será:

\vec{E}{total}(\vec{r}) = \vec{E}{grande}(\vec{r}) + \vec{E}_{cavidade}(\vec{r})

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3. Campo dentro da cavidade

Estamos interessados no campo em um ponto \vec{r} que está dentro da cavidade.

Passo 3.1: Da esfera grande, o ponto \vec{r} é medido a partir de seu centro O. Portanto:

\vec{E}_{grande}(\vec{r}) = \dfrac{\rho}{3\epsilon_0} \vec{r}

Passo 3.2: Da esfera menor (com densidade -\rho), o mesmo ponto \vec{r} deve ser medido a partir de seu centro, O'. O vetor posição relativo a O' é \vec{r}' = \vec{r} - \vec{d}. Como este ponto está dentro da esfera menor (que preenche a cavidade), o campo que ela produz é:

\vec{E}_{cavidade}(\vec{r}) = \dfrac{(-\rho)}{3\epsilon_0} (\vec{r} - \vec{d})

Passo 3.3: Aplicando o princípio de superposição:

\vec{E}_{total}(\vec{r}) = \dfrac{\rho}{3\epsilon_0} \vec{r} - \dfrac{\rho}{3\epsilon_0} (\vec{r} - \vec{d})

Passo 3.4: Simplificando a expressão:

\vec{E}<em>{total}(\vec{r}) = \dfrac{\rho}{3\epsilon_0} \vec{r} - \dfrac{\rho}{3\epsilon_0} \vec{r} + \dfrac{\rho}{3\epsilon_0} \vec{d} \vec{E}_{total}(\vec{r}) = \dfrac{\rho}{3\epsilon_0} \vec{d}

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4. Conclusão

O resultado \vec{E}_{total} = \dfrac{\rho}{3\epsilon_0} \vec{d} é notável:

• Ele não depende da posição \vec{r} dentro da cavidade. Portanto, o campo é uniforme em toda a cavidade.
• Ele é proporcional ao vetor \vec{d} que liga os centros das esferas.
• O campo tem a direção e o sentido de \vec{d} se \rho > 0.

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Resposta Final:

O campo elétrico no interior da cavidade é uniforme e dado por:
\vec{E} = \dfrac{\rho}{3\epsilon_0} \vec{d}

onde \vec{d} é o vetor deslocamento do centro da esfera carregada ao centro da cavidade.