Um elétron é projetado com velocidade inicial v0=1,60×10^(6) m/s para dentro do campo elétrico uniforme entre as placas paralelas (Figura E21.29). Suponha que o campo seja uniforme e orientado verticalmente para baixo e considere o campo elétrico fora das placas igual a zero. O elétron entra no campo em um ponto intermediário entre as placas. (a) Sabendo que o elétron tangencia a placa superior quando ele sai do campo, calcule o módulo do campo elétrico. (b) Suponha que, na Figura E21.29, o elétron seja substituído por um próton com a mesma velocidade inicial v0. O próton colide com uma das placas? Se o próton não colide com nenhuma placa, qual deve ser o módulo, a direção e o sentido de seu deslocamento vertical quando ele sai da região entre as placas? (c) Compare as trajetórias seguidas pelo elétron e pelo próton e explique as diferenças. (d) Analise se é razoável desprezar os efeitos da gravidade para cada partícula.

Passo 1

Dados:

• Velocidade inicial: v_0 = 1,60 \times 10^6 \text{m/s} (horizontal)
• Dimensões das placas (da figura):
  • Comprimento: 2,00 \text{cm} = 0,0200 \text{m}
  • Distância entre placas: 1,00 \text{cm} = 0,0100 \text{m}
• O elétron entra no ponto médio entre as placas
• Carga do elétron: q_e = -e = -1,602 \times 10^{-19} \text{C}
• Massa do elétron: m_e = 9,109 \times 10^{-31} \text{kg}
• Carga do próton: q_p = +e = +1,602 \times 10^{-19} \text{C}
• Massa do próton: m_p = 1,673 \times 10^{-27} \text{kg}
• Aceleração da gravidade: g = 9,80 \text{m/s}^2

Passo 2

a) Cálculo do Campo Elétrico para o Elétron:

Movimento horizontal (eixo x):

• a_x = 0
• \Delta x = 0,0200 \text{m}
• v_{0x} = 1,60 \times 10^6 \text{m/s}

\Delta x = v_{0x} \cdot t \Rightarrow t = \dfrac{\Delta x}{v_{0x}} = \dfrac{0,0200}{1,60 \times 10^6} = 1,25 \times 10^{-8} \text{s}

Movimento vertical (eixo y):

• O elétron tangencia a placa superior → \Delta y = +0,00500 \text{m} (metade da distância entre placas)
• v_{0y} = 0
• \Delta y = \dfrac{1}{2} a_y t^2

a_y = \dfrac{2 \Delta y}{t^2} = \dfrac{2 \cdot 0,00500}{(1,25 \times 10^{-8})^2} = 6,40 \times 10^{13} \text{m/s}^2

Cálculo do campo elétrico:

F = m a_y = |q| E

E = \dfrac{m a_y}{|q|} = \dfrac{(9,109 \times 10^{-31}) \cdot (6,40 \times 10^{13})}{1,602 \times 10^{-19}}

E = 364 \text{N/C}

Sentido: O campo elétrico está orientado verticalmente para baixo.

Passo 3

b) Comportamento do Próton:

Aceleração do próton:

a_y = \dfrac{|q| E}{m} = \dfrac{(1,602 \times 10^{-19}) \cdot 364}{1,673 \times 10^{-27}} = 3,49 \times 10^{10} \text{m/s}^2

Deslocamento vertical:

• Como o próton tem carga positiva, a força é para baixo (mesmo sentido do campo)
• \Delta y = \dfrac{1}{2} a_y t^2 = \dfrac{1}{2} \cdot (3,49 \times 10^{10}) \cdot (1,25 \times 10^{-8})^2
• \Delta y = -2,73 \times 10^{-6} \text{m} (deslocamento para baixo)

Conclusão: O próton não colide com nenhuma placa, pois o deslocamento vertical é muito menor que a metade da distância entre as placas.

Passo 4

c) Comparação das Trajetórias:

• Elétron (carga negativa):
• Desvia para cima (\Delta y = +5,00 \text{mm})
• Tangencia a placa superior
• Próton (carga positiva):
• Desvia para baixo (\Delta y = -2,73 \mu\text{m})
• Praticamente não desvia

Diferenças:

1. Sentidos opostos de deflexão devido às cargas opostas
2. Magnitude diferente devido às massas diferentes (o próton é ~1800 vezes mais massivo)

Passo 5

d) Análise dos Efeitos Gravitacionais:

Para o elétron:

• Aceleração elétrica: 6,40 \times 10^{13} \text{m/s}^2
• Aceleração gravitacional: 9,80 \text{m/s}^2
• Razão: \dfrac{a_{\text{el}}}{g} \approx 6,5 \times 10^{12} → desprezível

Para o próton:

• Aceleração elétrica: 3,49 \times 10^{10} \text{m/s}^2
• Aceleração gravitacional: 9,80 \text{m/s}^2
• Razão: \dfrac{a_{\text{el}}}{g} \approx 3,6 \times 10^9 → desprezível

Conclusão: É perfeitamente razoável desprezar os efeitos da gravidade para ambas as partículas.

Resposta

a) Módulo do campo elétrico: \boxed{364 \text{N/C}} (vertical para baixo)

b) O próton não colide com nenhuma placa. Seu deslocamento vertical é:

• Módulo: 2,73 \times 10^{-6} \text{m}
• Direção: Vertical
• Sentido: Para baixo

c) O elétron desvia para cima e tangencia a placa superior, enquanto o próton desvia ligeiramente para baixo devido às cargas opostas e massa maior.

d) Sim, é perfeitamente razoável desprezar os efeitos da gravidade para ambas as partículas, pois as acelerações elétricas são bilhões de vezes maiores que a aceleração gravitacional.