Os dois lados da dupla hélice de DNA são ligados por pares de bases (adenina, timina, citosina e guanina). Em razão da forma geométrica dessas moléculas, a adenina se liga à timina e a citosina se liga à guanina. A Figura E21.21 mostra a ligação de timina e adenina. Cada carga na figura é ±e, e a distância H—N é de 0,110 nm. (a) Calcule a força resultante que a timina exerce sobre a adenina. É uma força de atração ou repulsão? Para manter os cálculos simples, porém razoáveis, considere apenas as forças decorrentes das combinações de O—H—N e N—H—N, supondo que estas duas combinações sejam paralelas entre si. Lembre-se, no entanto, de que, no conjunto O—H—N, O- exerce uma força tanto sobre H+quanto N-, e de forma análoga o mesmo acontece no conjunto N—H—N. (b) Calcule a força sobre o elétron no átomo de hidrogênio, que fica a 0,0529 nm de distância do próton. Em seguida, compare a intensidade da força de ligação do elétron no hidrogênio com a força de ligação das moléculas de adenina-timina.

Passo 1

Dados do Problema:

Temos um sistema de cargas envolvendo as moléculas de timina e adenina:

• Todas as cargas têm magnitude e = 1,6 \times 10^{-19} \text{C}
• Distâncias entre cargas:
• O^- e H^+: 0,17 \text{nm} = 0,17 \times 10^{-9} \text{m}
• O^- e N^-: 0,28 \text{nm} = 0,28 \times 10^{-9} \text{m}
• N^- e N^-: 0,30 \text{nm} = 0,30 \times 10^{-9} \text{m}
• H^+ e N^-: 0,19 \text{nm} = 0,19 \times 10^{-9} \text{m}
• Constante eletrostática: k = 9 \times 10^9 \text{Nm}^2/\text{C}^2

Objetivo: Calcular a força resultante que a timina exerce sobre a adenina.

Passo 2

Análise das Forças Atuantes:

Consideramos apenas as quatro forças principais:

1. Força de atração entre O^- (timina) e H^+ (adenina): +F_1
2. Força de repulsão entre O^- (timina) e N^- (adenina): -F_2
3. Força de atração entre H^+ (timina) e N^- (adenina): +F_3
4. Força de repulsão entre N^- (timina) e N^- (adenina): -F_4

Passo 3

Cálculo das Forças Individuais:

F = k \cdot \dfrac{e^2}{r^2}

F_1 = \dfrac{(9 \times 10^9) \cdot (1,6 \times 10^{-19})^2}{(0,17 \times 10^{-9})^2} = 8,858 \times 10^{-9} \text{N}

F_2 = \dfrac{(9 \times 10^9) \cdot (1,6 \times 10^{-19})^2}{(0,28 \times 10^{-9})^2} = 3,265 \times 10^{-9} \text{N}

F_3 = \dfrac{(9 \times 10^9) \cdot (1,6 \times 10^{-19})^2}{(0,19 \times 10^{-9})^2} = 7,090 \times 10^{-9} \text{N}

F_4 = \dfrac{(9 \times 10^9) \cdot (1,6 \times 10^{-19})^2}{(0,30 \times 10^{-9})^2} = 2,844 \times 10^{-9} \text{N}

Passo 4

Cálculo da Força Resultante:

F_R = +F_1 - F_2 + F_3 - F_4

F_R = (8,858 - 3,265 + 7,090 - 2,844) \times 10^{-9}

F_R = 9,839 \times 10^{-9} \text{N}

F_R \approx 8,85 \times 10^{-9} \text{N}

Sentido: Como o resultado é positivo, a força é de atração.

Passo 5

Comparação com a Força no Átomo de Hidrogênio:

No átomo de hidrogênio:

• Distância próton-elétron: 0,0529 \text{nm} = 0,0529 \times 10^{-9} \text{m}

F_H = k \cdot \dfrac{e^2}{r^2} = \dfrac{(9 \times 10^9) \cdot (1,6 \times 10^{-19})^2}{(0,0529 \times 10^{-9})^2}

F_H = 8,23 \times 10^{-8} \text{N}

Razão entre as forças:

\dfrac{F_H}{F_R} = \dfrac{8,23 \times 10^{-8}}{8,85 \times 10^{-9}} \approx 9,3

A força no átomo de hidrogênio é aproximadamente 9 vezes maior que a força de ligação adenina-timina.

Resposta

a) A força resultante que a timina exerce sobre a adenina é:

• Módulo: 8,85 \times 10^{-9} \text{N}
• Tipo: Força de atração

b) A força no elétron do átomo de hidrogênio é:

• Módulo: 8,23 \times 10^{-8} \text{N}
• Comparação: A força no hidrogênio é aproximadamente 9 vezes maior que a força de ligação adenina-timina